Cours de mathématiques de 2nde

Inéquations du 1er degré

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Texte

Une inéquation est une contrainte sur une (ou plusieurs) inconnue(s), où l'expression de la contrainte ne fait pas intervenir le signe = mais l'un des signes  <   ≤   ≥   ou   >.

Exemple : trouver x tel que x - 2 ≥ 5.

On "trouve" x ≥ 7.

Dans cette leçon, on s'intéresse aux inéquations ne faisant intervenir qu'une seule inconnue "x", et où la ou les expressions littérales impliquant "x" sont des polynômes du 1er degré en x (ce qu'on appelle parfois des formes linéaires en x).

Exemple : ax + b < cx + d

Règles de manipulations algébriques simples.

1) si f(x) < g(x) et h(x) < k(x) (où f, g, h et k sont des fonctions quelconques) alors f(x) + h(x) < g(x) + k(x)

en particulier on peut ajouter (ou soustraire) de chaque côté d'une inéquation un même nombre c :

f(x) + c < g(x) + c

Et cette règle est vraie pour les quatre signes   <   ≤   ≥   ou   >.

 

2) si f(x) < g(x) et c est un nombre positif, alors [ c fois f(x) ] < [ c fois g(x) ]. Et bien sûr on peut aussi diviser de part et d'autre par "c" sans changer le sens de l'inéquation, car diviser par "c", c'est pareil que multiplier par "1/c".

 

3) changement de sens si on multiplie par un nombre négatif : c'est la seule règle à laquelle il faut prêter plus spécialement attention

Si f(x) < g(x) et c < 0, alors [ c fois f(x) ] > [ c fois g(x) ]

 

Tableau de variation :

Regardons le signe de ax + b en fonction de x (supposons a > 0)

 

Avec ces règles on peut résoudre toutes sortes d'inéquations.

Exemple 1 : trouver x tel que 3x - 2 ≥ x + 4

un peu d'algèbre en utilisant les règles ci-dessus donne
-> 2x ≥ 6
-> x ≥ 3

Et on peut vérifier que si x = 3 les deux termes sont égaux. Si x est plus grand que 3 le terme de gauche croît plus vite que le terme de droite. Et si x est plus petit que 3 le terme de gauche décroît plus vite que le terme de droite.

Exemple 2 : (ce n'est pas à proprement parler une inéquation du 1er degré, mais ça revient au même car on va considérer des fonctions linéaires)

trouver x tel que (2x - 5)(x + 3) > 0

Ici on va faire le tableau de variation complet en tenant compte des changements de signes à x = 5/2 et à x = -3

On voit que la solution est x < -3 ou x > 5/2.

On peut écrire cela : x doit appartenir à l'ensemble ] -∞ ; -3 [ ∪ ] 5/2 ; +∞ [ (où on se rappelle que ∪ veut dire "union").

 

Exercices :

  1. Trouver x tel que (2x - 4)(x - 1) < 4
  2. Trouver x tel que [ (1 - x ) / ( 1 + x ) ] ≤ 1

 

 

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