Cours de mathématiques de 2e

Problèmes du 1er degré. Exemple : choc élastique entre deux disques

Texte

Appliquons nos connaissances à un problème classique de mécanique. Considérons deux disques D₁ et D₂ glissant sur un plan horizontal de glace carbonique (CO₂ solide) qui permet d'étudier des mouvements horizontaux sans frottements.

Le disque D₁ de masse M glisse avec une vitesse V₀ et va taper dans le disque D₂ de masse m et initialement au repos :

Question : Quelles sont les vitesses de D₁ et D₂ après le choc ?

Solution : Appellons V et v les vitesses de D₁ et D₂ après le choc.

Les mathématiciens et physiciens du XVIIe siècle (parmi lesquels Newton, Leibniz et Huygens) ont établi que deux grandeurs physiques du système étaient conservées durant l'expérience :

1. La quantité de mouvement
2. L'énergie cinétique

On a les données et contraintes suivantes

Noter que l'énergie cinétique est toujours une grandeur scalaire (c'est-à-dire un nombre), tandis que la quantité de mouvement est une grandeur vectorielle, c'est-à-dire qu'elle a un axe, une grandeur et une direction (car c'est une vitesse multipliée par un scalaire). Ici étant donné qu'on va l'étudier le long d'un axe (à une dimension) on peut néanmoins la traiter comme un scalaire.

On a donc les équations

Après un peu d'algèbre elles deviennent

Si on laisse de côté la solution v = 0 (et V = V₀), car elle ne correspond pas à une possibilité physique (ce serait D₁ qui traverse D₂ sans le faire bouger), on obtient

D'où

et, en utilisant à nouveau (1),

Finalement, on a v et V :

Interprétation physique :

• Si m/M est très petit, D₂ va partir à une vitesse proche du double de celle de D₁, lequel freinera à peine
  
  
• Si m/M = 1, c'est-à-dire si les deux disques ont la même masse, D₂ partira avec la vitesse V₀ tandis que D₁ s'arrêtera. C'est ce qui se passe quand on fait un "carreau" aux boules.
  
  
• Si m/M est très grand, c'est-à-dire si le disque D₂ a une masse très supérieure à celle de D₁, v sera très petit, et V sera proche de -V₀. C'est-à-dire que le disque D₁ rebondira contre D₂ lequel ne bougera pas beaucoup.

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