Cours de mathématiques de 2e

Repères dans le plan

Texte

On a déjà beaucoup utilisé le quadrillage dans le plan pour repérer commodément les points et même les vecteurs.

Le point A ci-dessus est "repéré" par ses coordonnées (-1 ; 3) et le vecteur V correspond au déplacement : partir d'un point et ajouter 4 à son abscisse et 2 à son ordonnée. Ce n'est pas la façon standard de parler, on dit simplement V = (4 ; 2).

Rôle des vecteurs et . Ces deux petits vecteurs ci-dessous jouent un rôle important. Ils forment un repère de base dans le plan. On dit aussi qu'ils forment le "repère canonique".

Le vecteur V = ( 4 ; 2 ) peut être noté

Repère canonique et autres repères. Le repère ( ; ) est le repère fondamental (dit encore "canonique"), mais il y en a beaucoup d'autres.

Notons, avant de continuer, que la notion de vecteur précède celle de repère. Un vecteur est un déplacement dans le plan. Un repère sert à l'exprimer commodément à l'aide de deux vecteurs particuliers.

Résultat fondamental : dans le plan, toute paire de vecteurs V₁ et V₂, qui ne sont par colinéaires (c'est-à-dire qui n'ont pas le même axe), peut servir de repère. N'importe quel vecteur V est exprimable en fonction de V₁ et V₂ sous la forme

V = xV₁ + yV₂

et cette décomposition est unique.

Calculons x et y pour le cas de figure ci-dessus. Pour cela on va passer par ( ; ). On va d'abord exprimer V₁ et V₂ en fonction de ( ; ), puis on va "inverser" les relations et exprimer et en fonction de V₁ et V₂.

On part du système de deux équations ("vectorielles") suivantes et on fait de l'algèbre exactement comme on l'a déjà fait sur des valeurs littérales (qui représentaient des nombres inconnus) :

On va multiplier l'équation (1) de part et d'autre par -3 puis l'ajouter à l'équation (2) afin d'éliminer .

Obtient la séquence d'équations suivantes, qui donnent finalement et :

Enfin, comme on a V en fonction de et , on en déduit V en fonction de V₁ et V₂.

Vérification : On vérifie aisément que 7V = 10V₁ + 6V₂.

En effet 10V₁ + 6V₂ a pour abscisse [ 10 fois 3 plus 6 fois 2 ] = 42 = [ 7 fois 6 ], et a pour ordonnée [ 10 fois 1 plus 6 fois 3 ] = 28 = [ 7 fois 4 ]. C'est donc bien 7 fois V.

Changement de repère. Ce que l'on vient d'effectuer s'appelle un changement de repère : on est passé de l'expression de V à l'aide de ( ; ) à l'expression de V à l'aide de ( V₁ ; V₂ )

Il y a des situations mathématiques où il est utile de changer de repère. Dans notre exemple, cependant, qui n'avait qu'un but illustratif, il faut noter que la longueur du vecteur V s'obtenait par le théorème de Pythagore appliqué à ses coordonnées de ( ; ). On avait norme de V = √(36 + 16) = 7,21... Mais ce n'est plus le cas avec le repère ( V₁ ; V₂ ), dans lequel les coordonnées de V sont ( 10/7 ; 6/7 ).

Exercices :

1. Faire un autre changement de repère : passer de ( ; ) à ( W₁ ; W₂ ) = [ (5 ; 2) ; ( 1 ; -3 ) ], et calculer les nouvelles coordonnées de V dans ( W₁ ; W₂ ).

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