Cours de mathématiques de 2e

Variance et écart type d'une variable aléatoire numérique

Texte

Nous avons vu, dans la leçon précédente, la moyenne d'une variable aléatoire numérique. Nous allons maintenant étudier sa variabilité autour de sa moyenne.

Trois exemples. Commençons par trois exemples pour sentir ce qu'est la variabilité d'une v.a. autour de sa moyenne

On a donc construit 3 v.a. X, Y et Z, toutes les trois pouvant prendre les mêmes 5 valeurs possibles { 100, 110, 120, 130, 140 }. Et chaque fois nous avons spécifié les probabilités. Par exemple Pr { Y = 130 } = 20%.

Vous pouvez déjà sans doute voir que Y est plus "dispersé" que X, et que Z est moins dispersé que X.

Mesure de la dispersion. La dispersion de X pourrait être mesurée par la valeur moyenne de la distance de X à sa moyenne 120. Mais, pour des raisons mathématiques diverses qu'on apprendra dans les années qui viennent, on préfère utiliser la valeur moyenne de (X-120)² puis prendre sa racine carrée.

(X-120)² est une variable aléatoire. Dans chaque tirage de l'expérience , X prend une valeur et donc (X-120)² aussi. A l'aide du simulateur de variable aléatoire qu'on a déju vu, on a produit 20 tirages aléatoires de X et chaque fois on a aussi calculé X-120 et (X-120)².

La v.a. (X-120)² peut prendre trois valeurs possibles, { 0, 100, 400 }, avec les probabilités respectives { 50%, 40% , 10% }.

Calcul de la variance de X. Il est donc aisé de calculer E[ (X-120)² ].

E[ (X-120)² ] = 50% x 0 + 40% x 100 + 10% x 400 = 0 + 40 + 40 = 80

Ce nombre s'appelle la variance de X.

Et sa racine carrée s'appelle l'écart type de X.

Comparaison de X, Y et Z. Les mêmes calculs pour les trois v.a. donnent :

On voit que l'écart type mesure bien une notion de dispersion : Y est plus dispersé que X, et Z est moins dispersé que X.

Ecart type minimal possible. L'écart type minimal possible est 0. C'est le cas d'une "variable aléatoire" qui ne varie pas. Par exemple :

Simulation*. Voici les résultats de 5000 tirages de X (le tableau qui a en réalité plus de 5000 lignes a été coupé en deux horizontalement pour voir le haut et le bas sans voir les milliers de lignes intermédiaires) :

On voit que

• la moyenne expérimentale de X est 120,1
• la variance expérimentale de X est 81,34
• et donc son écart type expérimental est approximativement 9,019

* pour faire un nouveau tirage de 5000 résultats avec le simulateur de variable aléatoire appuyer sur la touche F9 de Excel

Exercices :

1. Avec le simulateur de variable aléatoire, dans le calcul de la variance expérimentale remplacer 120 par sa valeur expérimentale. Regarder comment se comporte la nouvelle variance expérimentale.
2. Faire comme dans 1, mais avec seulement 5 tirages. Regarder comment se comporte la variance expérimentale.
3. Reproduire 1000 fois l'estimation de la variance à l'aide de seulement 5 tirages de X, comme dans la question 2. Est-ce que cette variance expérimentale estime bien la variance théorique (qui est 80) ?
   
   

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