Cours de mathématiques de 2e
Les vecteurs (2) : propriétés et utilisation
Texte
Les vecteurs sont des objets mathématiques avec trois caractéristiques- une direction (= un axe)
- une longueur
- un sens sur leur axe
Ils servent en particulier à représenter les translations. Pensons par exemple aux translations dans le plan. Un vecteur V qui transforme un point A en un point B est noté 
Si V = , V transforme C en D (figure ci-dessous) si et seulement si
- les droites AB et CD sont parallèles
- les longueurs AB et CD sont égales
- les sens sont les mêmes.
Alors, évidemment, on peut écrire 
A chaque vecteur correspond de manière biunivoque le transformé de l'origine O.
Norme d'un vecteur. La longueur du segment OP s'appelle la norme du vecteur 
et est notée 
Addition des vecteurs. Soit deux vecteurs 
et 
, on définit V1 + V2 comme le vecteur obtenu par "la règle du parallélogramme", c'est-à-dire qu'on part, par exemple, de l'origine, on se déplace du vecteur V1 pour arriver au point P1, puis à partir de P1, on se déplace du vecteur V2 et on arrive à un point, mettons Q, alors le vecteur allant de l'origine O jusqu'à Q est le vecteur V1 + V2.
Relation de Chasles. Si V1 = et V2 = 
, alors, compte tenu de la façon dont on vient de définir l'addition, on a 
Multiplication d'un vecteur par un scalaire. (Un "scalaire" est un autre nom pour un nombre réel.)
- 2 a même direction que , même sens, et longueur (= norme) double
- "a" fois change de sens si a < 0.
Exemple d'application. Soit un triangle ABC
et trois points M, N et P définis comme suit :
Montrer que M, N et P sont alignés.
(Exercice tiré du livre "L'année de la 2de", Bordas.)
Solution en utilisant les vecteurs :
premièrement
deuxièmement (en utilisant le fait que 
)
Donc le deuxième vecteur est le double du premier, donc ils sont forcément paralléles. Et donc M, N et P sont alignés.
Solution géométrique classique : Noter que la solution ci-dessus utilise sans le dire une collection de parallélogrammes comme dans la figure ci-dessous, où A'B'C' est translaté de ABC d'une distance 2/3 de BC vers la gauche.
Il est aisé de montrer que les segments MN et NP sont parallèles et de même longueur.
Utilisation des vecteurs. Les vecteurs servent à représenter des "choses" ayant un axe, un sens et une longueur. Exemples :
- des translations (on l'a amplement vu)
- des vitesses
- des forces
Exemple de combinaison de forces : considérons, dans un plan vertical, un disque en acier très lourd (et d'épaisseur fine), reposant sans frottement sur deux petits supports fixes, en acier aussi, comme montré sur le dessin :
Au point de contact T1 s'exerce une force que l'on peut noter par le vecteur 
, et au point de contact T2 s'exerce une force 
. Par ailleurs le poids du disque exerce une force 
. J'ai représenté les trois forces avec pour origine O afin de bien voir leur combinaison.
Les trois forces s'annulent, puisque le disque est au repos. Donc on a
Si les plaques sont déplacées afin de former un angle de plus en plus petit, les forces
et
vont devoir devenir de plus en plus grandes pour que leur addition (selon la règle du parallélogramme) continue à compenser le poids du disque.
C'est un effet physique que l'on se représente bien. C'est aussi à cause d'un principe similaire que les clous ont une pointe effilée.
Exercices :
- Dans l'illustration avec le disque pesant, quelles sont les forces exercées sur les deux supports quand ils font entre eux un angle de 30° ?
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