La factorisation est l'opération contraire du développement algébrique. Par exemple :
La factorisation est une opération importante en mathématiques car elle permet, quand elle est possible, de résoudre simplement certaines équations. Souvent un problème où il faut trouver une quantité inconnue x, se transforme en une équation de la forme ax2 + bx + c = 0.
ax2 + bx + c s'appelle un trinôme en x.
Si on peut mettre ax2 + bx + c sous la forme a(x - x1)(x - x2), où x1 et x2 sont des quantités connues (comme dans l'exemple 2x2 + x - 3 -> 2(x - 1)(x + 3/2) ), alors l'équation ax2 + bx + c = 0 devient immédiate à résoudre : x = x1 ou x = x2 sont deux solutions. (Et avec un petit peu de maths qu'on apprendra plus tard, on démontrera qu'il n'y en pas d'autres.)
Exemple : supposons qu'un problème où il faut deviner une quantité inconnue x nous ait conduits à l'équation x(2x + 1) = 3. On peut la transformer successivement en :
-> 2x2 + x - 3 = 0
-> (x - 1)(2x + 3) = 0
Donc les valeurs possibles de x sont x = 1 ou x = -3/2. (Il est parfois possible ensuite que pour des raisons physiques ou autres une seule des solutions algébriques soit la réponse au problème.)
Interprétation géométrique : on trace dans le repère habituel la courbe des points dont les coordonnées sont [ x ; 2x2 + x - 3 ] pour une plage de valeurs de x, ci-dessous pour x entre -3 et +3 :
Cette courbe est une parabole (tournée vers le haut car le coefficient devant x2 est positif ; sinon elle serait tournée vers le bas). On voit qu'elle coupe l'axe horizontal pour x = -3/2 ou pour x = 1.
Factorisation du trinôme : nous allons étudier, dans le cas général, quand le trinôme ax2 + bx + c peut-il être factorisé sous la forme a(x - x1)(x - x2), et quand c'est impossible.
Le coefficient "a" est différent de zéro, car sinon ax2 + bx + c ne serait pas un trinôme mais une expression beaucoup plus simple. Donc transformons un peu notre trinôme en sortant le coefficient "a" devant :
On va essayer d'exprimer le terme à l'intérieur des parenthèses sous une forme factorisable comme p2 - q2.
Idée : voir x2 + (b/a)x comme le début du développement d'un carré du genre (x + r)2. On peut effectivement écrire :
On a rajouté et enlevé un nouveau terme [ b/(2a) ]2. Maintenant les trois premiers termes à droite du signe = sont bien le développement algébrique d'un carré de la forme (x + r)2.
Retournons au trinôme complet, et faisons un peu d'algèbre :
On a presque fini : on a mis le trinôme sous une forme qui est factorisable à la condition que le terme le plus à droite (b2 - 4ac) soit positif ou nul.
Si b2 - 4ac ≥ 0, nous sommes arrivés à une expression de la forme a(p2 - q2). Dans ce cas, on peut écrire :
Après une légère réécriture à l'intérieur des parenthèses, toujours si b2 - 4ac ≥ 0 (c'est-à-dire si ce terme a une racine carrée), on est arrivé à la factorisation recherchée :
En conclusion, si b2 - 4ac ≥ 0, les solutions en x de ax2 + bx + c = 0 sont
Si b2 - 4ac < 0, alors il n'y a pas de solutions car on a vu que
et le terme à droite du signe = est strictement positif quel que soit x.
(b2 - 4ac) s'appelle le discriminant de l'équation ax2 + bx + c = 0.
L'équation ax2 + bx + c = 0 a des solutions si et seulement si b2 - 4ac ≥ 0.
Interprétation géométrique : si b2 - 4ac ≥ 0, la parabole formée par les points de coordonnées [ x ; ax2 + bx + c ] coupe, ou au moins touche, l'axe des x. Sinon elle est totalement au dessus ou totalement en dessous de l'axe des x.
Exercices :
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