introduction
exemple : un problème financier
Nous savons maintenant toutes les mathématiques nécessaires dans la vie courante. Rappelons les principales :
Rappel : nombres et fractions
Rappel : surfaces. Calcul de l'aire d'un trapèze
Rappel : théorème de Thalès. A quelle distance du segment AB se trouve le point M où se rejoignent les deux côtés non parallèles ?
Rappel : théorème de Pythagore. Quelle est la distance entre A et C dans le triangle ci-dessous ?
Un problème financier : J'ai acheté à la Fnac pour 7000 euros de matériel informatique et j'ai obtenu un prêt de l'ensemble de cette somme auprès de Finaref, l'organisme de crédit appartenant au Crédit Agricole, qui travaille avec la Fnac et qui encourage à acheter à crédit.
Après une brève période où le taux d'intérêt annuel, pour attirer le client, était aux environs de 3%, le taux d'intérêt annuel est devenu 20%.
Je veux maintenant rembourser cette somme de 7000 euros (qui me coûte 20% par an), en cinq ans, avec chaque année un paiement qui couvre les intérêts et rembourse aussi une partie du capital restant dû. Et je veux faire un versement annuel constant.
Questions :
Voici les calculs année après année ("année zéro" est une date : le début du prêt ; "année un" est une date : au bout d'un an ; etc.) en K euros (c'est-à-dire milliers d'euros) :
Le tableau (partiel) ci-dessus se lit comme ceci : au départ le crédit (le capital à rembourser) est de 7 K€. A la fin de la première année, je dois des intérêts de 1,4 K€. Je paie à Finaref une somme supplémentaire x afin de commencer à réduire le capital dû : je paie donc (1,4 + x) K€.
Alors à la fin de la première année, le capital encore emprunté devient (7 - x) K€.
A la fin de l'année 2, les intérêts dus sont (7 - x) fois 20%. Je paie toujours la même somme : (1,4 + x) K€. Le nouveau capital encore emprunté devient maintenant : (7 - x - 6x/5).
On pousse les mêmes calculs, présentés ci-dessous, jusqu'à l'année 5 :
Quelle est l'inconnue dans mon problème ? Rép : la valeur x.
Quelle est la contrainte sur l'inconnue ? Rép : je veux qu'à la fin de la cinquième année je ne doive plus rien. C'est-à-dire, je dois résoudre l'équation
Le coefficient à côté de x a une forme qu'on reconnaît : c'est les puissances de 6/5 de zéro à quatre. On peut, si on veut, utiliser la formule algébrique suivante
pour faire le calcul de la somme des puissances de 6/5 plus vite.
On obtient 7,4416 comme coeficient de x.
Donc finalement x = 7 / 7,4416 = 0,94066 K€ ou plus simplement x = 940,66 euros. C'est la somme que je paie en plus des intérêts la première année. Donc chaque année, je paie en tout 2,34 K€.
Le tableau financier complet (en milliers d'euros) est le suivant :
Sur cinq ans, j'ai payé en tout 11700 euros, dont 7000 euros de principal et 4700 euros d'intérêts.
On ne s'étonne pas avec ce genre de prêt que les organismes financiers, qui empruntent ce même argent sur les marchés à des taux en-dessous de 5%, n'aient pas de peine à gagner beaucoup d'argent avec les pauvres qui généralement n'accordent aucune espèce d'attention à ce genre de calculs, et que les patrons de ces organismes roulent en Porsche.
On prête à Louis XIV ce mot : "Le crédit soutient le laboureur comme la corde le pendu."
Exercices :
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Réponses