Cours de mathématiques de 3e

Systèmes d'équations à deux inconnues

Texte

Nous avons rencontré jusqu'à présent les équations à une inconnue

• origine : problème réel
• on identifie une inconnue (parfois on a le choix)
• le problème correspond à une contrainte sur l'inconnue x
• cette contrainte peut s'exprimer sous la forme d'une expression littérale (faisant intervenir x) égale à zéro
• résolution de l'équation, soit par l'algèbre, soit à l'aide d'un dessin

Nous avons toujours ramené nos équations à une inconnue à une contrainte de la forme f(x) = 0. Dans nos exemples, la fonction f était soit f(x) = ax + b, soit f(x) = ax² + bx + c.

Exemple 1 : je vends des glaces. Le prix unitaire est 1 euro. Le coût variable par glace est 0,15 euros. J'ai aussi des coûts fixes journaliers de 200 euros. Combien de glaces dois-je vendre par jour pour "couvrir tous mes coûts" ?

Choissisons "le nombre de glaces qui doivent être vendues" comme l'inconnue x. (On pourrait aussi prendre le chiffre d'affaires quotidien, ou encore d'autres choses.)

Le problème conduit à l'équation : x = 0,15x + 200

Donc 0,85x = 200. D'où x = 235,3. C'est-à-dire, il faut que je vende au moins 236 glaces chaque jour.

Exemple 2 : Trouver la valeur x telle qu'un rectangle de côtés x et x + 2 ait une surface de 5 m². Le problème conduit à l'équation x² + 2x - 5 = 0. On peut résoudre cette équation trinôme à l'aide des formules algébriques exactes qu'on a apprises. On peut aussi dessiner la courbe y = x² + 2x - 5, et regarder pour quels x on a y = 0.

On trouve une solution négative qui ne correspond pas au problème physique, et une solution positive x ≈ 1,45 mètres.

Problèmes à deux inconnues. On peut aussi rencontrer des problèmes où il y a deux inconnues à trouver x et y. En général, il faut alors deux contraintes pour déterminer x et y.

Exemple 3 : Aujourd'hui Julie a 5 ans de plus qu'Elodie.

Quels âges ont-elles ?

Eh bien, il n'y a pas assez de contraintes pour dire ! Tout ce qu'on peut faire c'est appeler x l'âge de Julie, et y l'âge d'Elodie, et noter x = y + 5.

Deuxième contrainte : dans 7 ans, Julie aura 1,5 fois l'âge d'Elodie.

Alors on peut écrire les deux contraintes comme ceci :

(1)    x = y + 5

(2)    (x + 7) = 1,5(y + 7)

Maintenant, c'est bon : on peut "résoudre ce système" pour trouver x et y. Faisons un peu d'algèbre : la première équation exprime x en fonction de y, remplaçons x par y + 5 dans la deuxième équation
-> y + 5 + 7 = (3/2)(y + 7)
-> 2y + 24 = 3y + 21
-> y = 3
-> x = 8

D'une manière générale, un système de 2 équations à 2 inconnues s'écrira

Sysèmes d'équations linéaires à deux inconnues. Nous nous intéresserons, quant à nous, à ceux dits "linéaires" qui sont de la forme

(attention les deux lettre f n'ont rien à voir, on a juste le problème classique d'essayer d'avoir des notations logiques et on n'a pas assez de lettres !)

Méthode de résolution. Si a ≠ 0, comme on a fait dans l'exemple 3, on utilisera l'équation (1) pour exprimer x en fonction de y, on remplacera x par cette expression dans l'équation (2), on résoudra pour y, et enfin on déduira x.

Exercices :

1. Aujourd'hui Martin a 5 ans de plus de Loïc. Dans trois ans Martin aura 3/2 fois l'âge de Loïc. Quels sont les âges, aujourd'hui, de Martin et de Loïc ?

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