Cours de mathématiques de 3e

Trigonométrie : angles et longueurs

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Il s'agit d'une leçon de révision, en trigonométrie élémentaire que nous avons apprise en 4e.

La trigonométrie plus avancée est un instrument étonnamment puissant dans pratiquement toutes les branches des mathématiques et en physique. Mais commençons par réviser des concepts géométriques élémentaires.

Sinus d'un angle :

On a deux demi-droites formant un angle θ (lire "théta"). Pour calculer le sinus de θ, il faut tracer un segment perpendiculaire à l'un des deux côtés. On obtient trois points O, A et B. Selon que θ est entre 0 et 90°, ou entre 90° et 180°, son sinus se calcule à l'aide de rapports de longueurs, comme ceci :

Le sinus d'un angle entre 0° et 180° est toujours positif, compris entre 0 et 1.

 

Cosinus d'un angle :

On a deux demi-droites formant un angle θ. Pour calculer le cosinus de θ, il faut encore tracer un segment perpendiculaire à l'un des deux côtés. On obtient les trois points O, A et B. Selon que θ est entre 0 et 90°, ou entre 90° et 180°, son cosinus se calcule alors comme ceci :

Attention, pour θ compris entre 90° et 180°, on prend le rapport des longueurs, mais avec le signe "moins" devant. (Dans les autres cas aussi, on prend les rapports de longueurs, même si on ne l'a précisé que dans ce dernier cas.)

 

Tangente d'un angle : Pour un angle θ compris entre 90° et 180°, on définit sa tangente comme le rapport de son sinus divisé par son cosinus. La tangente est définie pour tous les angles sauf 90° (car il y aurait une division par zéro).

Aller d'un sinus à un angle : Pour une valeur donnée, entre 0 et 1, il y a deux angles, entre 0° et 180°, qui ont cette valeur pour sinus (ce sont les angles θ et 180 - θ). Exemple : trouver θ tel sinθ = 0,82 , alors une calculette scientifique donne la valeur de θ (à l'aide de la fonction arcsinus) -> θ1 = 55,084...°. Et il y a aussi la solution θ2 = 180 - θ1 = 124,916...°

Aller d'un angle à un cosinus : Exemple cos (55,084...°) = 0,5723... et cos(124,916...°) = - 0,5723... Alors on vérifie que sin2(55,084...°) + cos2(55,084...°) = (0,82)2 + (0,5723...)2 = 0,6724 + 0,3275... = 1. Il faut se rappeler qu'on a toujours, et on aura encore en trigo plus avancée, quel que soit l'angle θ,

sin2(θ) + cos2(θ) = 1

Théorème de Al-Kashi : soit un triangle ABC quelconque, avec AB et AC qui font un angle θ

alors on a la relation BC2 = AB2 + AC2 - 2 x AB x AC x cos(θ).

Le théorème de Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore.


Application : exemple, on a trois points A, B et C et on connaît 2 longueurs et un angle :

Supposons que l'on sache que AB = 6 km, AC = 4 km, et l'angle θ vaut 28°. Quelle est la distance entre B et C ?

Réponse : on a BC2 = 62 + 42 - 2 x 6 x 4 x cos(28°) = 36 + 16 - 48 x 0,8829... = 9,62... D'où BC ≈ 3,1kilomètres.

 

Exercices :

  1. Vérifier le théorème de Al-Kashi quand θ = 45°, AB = 1 et AC = racine de 2.

 

 

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