Cours de mathématiques de 4e

Développer un produit

Texte

Parmi les opérations les plus simples du calcul littéral, il y a :

1. développer un produit : (a + b)c -> ac + bc,
2. et l'opération inverse : factoriser une expression : ac + bc -> (a + b)c

De même (a + b)(c + d) = a(c +d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Souvent une des lettres représentera un nombre qu'on veut trouver. En général on le note x (c'est l'une des raisons pour lesquels on abandonne peu à peu ce signe pour signifier "multiplier"). Par exemple :
x + a = b. Trouver x.
Alors x = b - a.

Exemple : trouver x tel que x + 3 = 2. Eh bien x = 2 - 3 = -1.

Souvent la valeur x à trouver apparaîtra dans des formules contenant des produits comme (x + a)(x + b)(x + c). "Développons" ce produit en utilisant de manière répétée la distributivité de la multiplication sur l'addition :
-> x(x + b)(x + c) + a(x + b)(x + c)
-> x(x² + bx + cx + bc) + a(x² + bx + cx + bc)
-> x³ + bx² + cx² + bcx + ax² + abx + acx + abc

Généralement on aime bien réorganiser les termes pour mettre ensemble tout ceux avec x³ (il n'y en a qu'un), tous ceux avec x², tous ceux avec x, et tout ceux sans aucune puissance de x.
-> x³ + ax² + bx² + cx²+ abx + acx + bcx + abc

ax², bx² et cx² s'appellent "les termes en x²", et abx, acx et bcx s'appellent "les termes en x".

Parfois on refactorise partiellement pour souligner cette forme :
-> x³ + (a+ b+ c)x²+ (ab + ac + bc)x + abc

Exemple : (x + 2)(x + 1)(x + 5) = x³ + (2 + 1 + 5)x²+ (2 + 10 +5)x + 10 = x³ + 8x²+ 17x + 10

Développements particuliers :

(x + 1)² = x² + 2x + 1

(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1

(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

D'une manière générale, dans le développement de (x + 1)ⁿ, les coefficients des puissances de x sont les nombres qui apparaissent dans le triangle de Pascal (voir video pour explication) :

Exercices

1. Développer (x + 3)(x - 2)

Réponses

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