Cours de mathématiques de 4e

Résoudre un problème : ligne de flottaison d'un cône lesté
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Texte

 

 

Nous commençons à avoir une boîte à outils mathématiques intéressante et utile pour résoudre toutes sortes de problèmes :

  • nombres
  • fractions
  • géométrie dans le plan et dans l'espace
  • repère dans le plan et dans l'espace
  • théorèmes de Thalès et de Pythagore
  • trigonométrie
  • ...

Nous en apprendrons beaucoup d'autres dans les années qui viennent :

  • théorie des nombres un peu plus avancée : décomposition des entiers en facteurs premiers
  • fonctions : représentation, travail avec les fonctions
  • statistiques et probabilités
  • équations à plusieurs inconnues
  • vecteurs
  • calcul intégral
  • logarithmes
  • équations différentielles
  • ...

Regardons un problème simple d'hydrostatique.
- On a un cône renversé, lesté avec un cube d'un litre de plomb.
- Le cône est creux et de poids négligeagle.
- Le tout est mis à l'eau

- Où est la ligne de flottaison du cône ?

Il nous manque encore une donnée : quelle est la forme du cône ?

Le cône est de révolution (c'est-à-dire symétrique par rapport à son axe vertical). Et l'angle entre l'axe et une génératrice est 15°.

Il faut aussi savoir les choses suivantes :

  1. Un litre d'eau pèse un kilogramme (c'est même comme ça que le kilogramme a été défini à la fin du XVIIIe siècle)
  2. Un litre de plomb pèse 11,4 kg
  3. Poussée d'Archimède : tout corps plongé dans l'eau subit une poussée verticale vers le haut égale au poids du volume d'eau déplacé par le corps. (C'est pourquoi les bateaux flottent.)

Appelons x la hauteur en centimètre entre la ligne de flottaison et le sommet du cône sous l'eau.

Alors le rayon de la base, en fonction de la hauteur, est r(x) = x multiplié par tangente de 15° = x fois 26,8%.

Le volume immergé du cône est donc V(x) = x fois r2(x) fois π fois 1/3. Regardons l'image de la formule, car c'est un peu difficile à écrire en html :

Et, si tout est en centimètre, le volume du lest est 1000 cm3.

Le poids de l'appareil (c'est-à-dire du lest, car on considère que celui du cône creux est négligeable) est 11,4 kg.

Le volume d'eau déplacé est 1000 + (7,5% multiplié par x3).

Donc le poids d'eau déplacée est

 

 

Ecoutons notre ami George Polya :

  1. Comprenez-vous le problème ?
    - Oui

  2. Quelle est l'inconnue ?
    - C'est x.

  3. Quelle est la contrainte ?

Faisons un peu d'algèbre (un tout petit peu...)

N'oublions pas le 4e conseil de G. Polya :

  1. Vérifiez votre solution.

Vérification : dessinons notre cône solution à l'endroit (car c'est plus habituel de les regarder comme ça) :

Le rayon r de la base satisfait l'équation r/52 = tan(15°) = 26,8%. Donc r ≈ 13,9 cm.

La surface de la base (au niveau de la ligne de flottaison) est S ≈ 607 cm2.

Volume de la partie immergée du cône ≈ 10500 cm3 = 10,5 litres.

Avec le litre de plomb en plus ça fait un volume total de 11,5 litres. Donc la poussée équilibre bien le poids.

Note sur les approximations : Nos calculs ont arrondi les nombres à plusieurs reprises, c'est donc normal de ne pas tomber exactement sur le poids de l'appareil (qui lui-même a été calculé approximativement). Mais si c'était nécessaire on pourrait faire des calculs plus précis.

 

Exercice

  1. Une péniche chargée de sable flotte dans un bassin rempli d'eau. On décide de larguer du sable de la péniche au fond du bassin.
    • Question 1 : la péniche remonte-t-elle ou descend-elle par rapport au niveau de l'eau ?
    • Question 2 : le niveau de l'eau, par rapport au bassin, monte-t-il ou descend-il ?

Réponses

 

 

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Réponses :
  1. La péniche remonte par rapport au niveau de l'eau.
  2. Le niveau de l'eau baisse par rapport au bassin.