Cours de mathématiques de 4e

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Dans un cercle, angle au centre et angle inscrit interceptant le même arc

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Texte

Un triangle rectangle et son cercle circonscrit ont une propriété simple et importante : l'hypoténuse (c'est-à-dire le grand côté) du triangle est un diamètre du cercle.

Démontrons-le simplement. Tout d'abord rappelons que le centre du cercle circonscrit est l'intersection des médiatrices des côtés. Et considérons le point E, milieu du segment BC.

Comme la médiatrice DE est perpendiculaire à AC, elle est parallèle à AB (puisque AB est aussi perpendiculaire à AC). Donc la médiatrice de AC est l'une des trois droites des milieux du triangle ABC. Elle coupe BC en son milieu, c'est-à-dire au point E.

La même chose est vraie de la médiatrice du segment AB : elle coupe elle aussi BC au point E.

Donc E, le milieu de BC, est bien l'intersection des trois médiatrices. Par conséquent E est le centre du cercle circonscrit. Et BC est un diamètre du cercle circonscrit.

On peut noter que la figure est d'une grande simplicité et "remplie de symétries". Si on trace (ci-dessous) le point A' symétrique de A par rapport au centre du cercle, on obtient un rectangle ABA'C, dont les deux diagonales se coupent aussi au milieu du cercle. C'est une symétrie centrale. Il y a aussi les deux symétries axiales habituelles d'un rectangle, avec les deux axes passant par le milieu et parallèles aux côtés.

 

 

La propriété que nous venons de démontrer sur un triangle rectangle et son cercle circonscrit est un cas particulier d'un résultat plus général : quel que soit un arc AB sur un cercle et un troisième point C sur le cercle, l'angle au centre AOB est le double de l'angle inscrit ACB interceptant le même arc.

Prouvons-le tout d'abord quand A, O et C sont alignés.

Raisonnons sur les angles avec deux petites marques, et les angles en vert. OCB et OBC sont égaux car le triangle est isocèle. La même chose est vraie de OAB et de OBA.

Comme la somme de ces quatre angles fait 180°, on en déduit que un vert plus un avec deux petites marques fait 90° : OBA + OBC = 90°. En passant on a démontré la réciproque du premier résultat de cette leçon. Cette réciproque dit : si un des côtés d'un triangle est un diamètre du cercle circonscrit alors le triangle est rectangle.

Pour terminer : l'angle AOB = 180° - 2 x OBA. Et OBA = 90 - OBC. Donc AOB = 180 - 2 x (90 - OBC) = 180 - 180 + 2 x OBC. Et OBC = OCB.

Conclusion : AOB = 2 x OCB.

Maintenant regardons les cas où A, O et C ne sont pas alignés.

Cas 1 : O est à l'intérieur du triangle ABC.

Une solution est de raisonner sur les triangles BCC' puis CC'A. On est ramené au cas précédent deux fois, et on additionne les angles.

Cas 2 : O est à l'extérieur du triangle ABC

Là aussi on raisonne sur les triangles BCC' puis ACC', et on retranche des angles.

 

Exercices

  1. Vérifiez avec une construction soigneuse à la règle et au compas sur une feuille de papier, les différents résultats de cette leçon.

 

 

Plan général du cours

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