Cours de mathématiques de 5e

Quadrilatères inscrits dans un cercle

Texte

Aujourd'hui nous allons décrire de belles propriétés sans les démontrer. Sauf une : dans un quadrilatère quelconque, la somme des angles est 360°.

Il suffit de voir qu'il s'agit de deux triangles accolés. Donc la somme de tous les angles est 2 fois 180° = 360°.

Voici maintenant un quadrilatère inscriptible :

Première caractérisation des quadrilatères inscriptibles : un quadrilatère est inscriptible si et seulement si les angles opposés se complètent à 180°. Dans la figure ci-dessus ça veut dire l'angle BAD et l'angle BCD ont une somme égale à 180°. Alors nécessairement les deux autres aussi, d'après la propriété précédente.

Cette propriété sur la somme des angles opposés égale à 180° dans les quadrilatères inscriptibles résulte d'une autre propriété fondamentale et très simple des angles sur les cercles : sur un cercle prenons 3 points quelconques A, B et M, alors l'angle AOB est le double de l'angle AMB.

L'angle AOB est appelé "l'angle au centre interceptant l'arc de cercle AB", et l'angle AMB est appelé "l'angle inscrit interceptant AB depuis le point M".

Cette propriété est facile à prouver (on commence par le cas particulier où le point M est l'opposé de A par rapport à O, puis on généralise à un point M quelconque en ramenant ce cas général à deux fois le cas particulier), mais nous la laissons pour une leçon sur les cercles (voir cours de 4e).

Deuxième caractérisation des quadrilatères inscrits (= inscriptible), due au mathématicien grec Claude Ptolémée (90, 168) : ABCD est un quadrilatère inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

Propriété de la surface des quadrilatères inscriptibles, due à l'Indien Brahmagupta (598, 668) - celui qui a dit que la soustraction d'un nombre à lui-même donnait bien encore un nombre, qu'il a appelé zéro : soit a, b, c, et d les longueurs des quatre côtés du quadrilatère inscriptible, et p le demi-périmètre, c'est-à-dire p = (a + b + c + d)/2. Alors la surface (= aire) S vérifie la formule

S x S = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d)

C'est une généralisation de la formule de Héron déjà rencontrée pour les cercles l'année dernière.

Exercices :

1. Avec un compas et une règle, tracer soigneusement un quadrilatère inscriptible. Mesurer les côtés et les diagonales. Et vérifier la formule de Ptolémée.
2. Avec un compas, une règle et un rapporteur, vérifier dans quelques exemples, le résultat sur les angles au centre et les angles inscrits interceptant un même arc.

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