Cours de mathématiques de 6e

Les nombres et leurs notations (2)

Texte

Les chiffres "arabo-hindous" ont été inventés par les Hindous vers l'an 500 après J.-C. Ils s'éloignent des notations naïves proches des représentations (comme III pour trois), et utilisent les signes 1 2 3 4 5 6 7 8 9, auxquels a été rajouté le 0 un peu plus tard par le mathématicien indien Brahmagupta (598-668). Et ils utilisent des règles astucieuses de position.

Ils ont été transmis à l'Occident par l'intermédiaire des Arabes et ont commencé à être diffusés en Europe seulement après l'an mil, par les moines et les marchands, lors du prodigieux développement de la civilisation européenne entre 1000 et 1300 (croissance démographique, universités, cathédrales, renouveau des villes et du commerce, foires, comptabilité, banque, croisades malheureusement aussi). Deux personnages ont joué un rôle important dans leur diffusion, le pape Sylvestre II (950-1003), qui était aussi mathématicien, et Léonard de Pise (1175-1250), surnommé "Fibonacci", qui était fils de marchand, avec la publication en 1202 de son célèbre livre "Liber abaci". Il faut se rendre compte à quel point ces chiffres d'origine hindoue, maintenant appelés chiffres arabes, étaient abstraits au XIIIe siècle et encore longtemps après !

Pour noter un nombre quelconque (mettons inférieur à mille), on compte d'abord combien de centaines il contient (par exemple trois centaines), puis combien de dizaines le reste contient (par exemple huit dizaines), et enfin quel nombre reste-t-il inférieur à dix (par exemple le nombre deux). Alors le nombre est noté : 382. C'est-à-dire qu'en partant du chiffre le plus à droite, les décalages vers la gauche indique le nombre de dizaines, de centaines, etc. On pourra réviser la leçon apprendre à compter.

Le nom du nombre en général dit déjà lui-même comment le nombre va être écrit. Mais il y a quelques fantaisies : en France, pour 80, on dit quatre-vingts et non pas octante, mais tout le monde sait l'écrire 80. Pour 90, on ne dit pas nonante, ni d'ailleurs trois-trente, mais quatre-vingt-dix.

Les chiffres arabes sont très commodes pour faire des calculs. Ainsi on a appris à l'école primaire à poser la multiplication : 57 multiplié par 13, et à calculer le résultat 741. "Poser la multiplication" revient à mettre en oeuvre une méthode astucieuse, plus ou moins mécanique, pour calculer le nombre de petits cailloux dans un rectangle de 13 rangées de 57 petits cailloux.

Les signes arithmétiques + - x et ÷ ou /, aussi dits "algébriques", ont été inventés seulement au XVIe siècle. Le signe = est aussi apparu à la fin du moyen âge. Pourquoi ce signe ? "Car il n'y a rien de plus égal que deux petits segments parallèles", a dit son inventeur.

Les ordinateurs utilisent encore une autre représentation des nombres, bien adaptée aux phénomènes électriques sur lesquels repose leur fonctionnement. Cinquante-sept est représenté par 111001, treize est représenté par 1101. Dans un ordinateur la multiplication est "posée" et effectuée à peu près comme la nôtre en chiffres arabes. Le résultat est 1011100101, qui est ensuite reconverti en 741.

De même que personne ne confond l'animal cheval, et les différents mots pour le signifier, "cheval", "horse" ou "ma" en chinois, il ne faut pas confondre les nombres et les signes pour les noter.

Il y a malgré tout une différence entre :
- la relation entre un cheval et son nom, et
- la relation entre un nombre et son nom,
un cheval est un animal concret (on peut en voir dans un pré ou un manège), tandis qu'un nombre est une chose abstraite. Mais après tout, vous connaissez déjà beaucoup de choses abstraites sans que ça vous dérange, par exemple la liberté.

Il ne faut pas se laisser impressionner, en mathématiques, par les notations et les formules. Elles doivent toujours pouvoir se lire en bon français, et correspondre à des idées claires, simples et précises. Ce qui ne veut pas dire qu'elles ne nécessitent aucun effort pour être comprises.

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