Cours de mathématiques de 2ndeLes angles : mesure en degré et en radian, sens des angles |
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Texte
- un angle droit était 90°
- un angle plat : 180°
- un tour complet : 360°
Il existe une autre échelle de mesure des angles, qui est plus naturelle et plus commode dans les calculs trigonométriques. Elle est fondée sur le fait que la circonférence du cercle de rayon R est 2ΠR.
Mesure en radian. La mesure d'un angle sera simplement la longueur de l'arc intercepté divisée par R :
Cette mesure s'appelle "la mesure en radian" de l'angle θ.
Formules. Ainsi 360° = 2Π radians. Et 1° = 0,01745... rad. Mais on ne retient généralement pas cette dernière formule. En revanche il est très important de retenir les formules suivantes :
- 90° = Π/2
- 45° = Π/4
- 180° = Π
- 270° = 3Π/2
On peut retenir aussi que 1 rad = 57,295...°, c'est-à-dire juste un peu moins que l'angle d'un triangle équilatéral.
Quand θ est petit. Pour illustrer la commodité des radians dans les calculs, observons que quand θ est petit, on a sinθ ≈ θ
Au delà de 2Π (ou 360°). De la même manière que 450°, du point de vue des angles, est pareil que 90°, 5Π/2 est pareil que Π/2.
Sens des angles. On a commencé dans les cours passés à parler du sens des angles ou des figures dont on fait le tour. On a vu qu'une symétrie axiale changeait le sens des angles et le sens de parcours du pourtour par exemple d'un triangle. Voyons ça maintenant d'une manière plus formelle.
On va faire une différence entre l'angle bleu et l'angle rouge ci-dessous :
L'angle bleu a pour valeur absolue Π/6 (ce qu'on appelait jusqu'à présent 30°), et l'angle orienté va avoir la valeur Π/6.
L'angle rouge a aussi pour valeur absolue Π/6, mais l'angle orienté va avoir la valeur -Π/6.
Le sens des aiguilles d'une montre sera le sens négatif.
Le sens inverse des aiguilles d'une montre sera le sens positif (dit aussi "sens trigonométrique").
En matière d'angle, θ est équivalent à θ + 2Π (en radian) et 0 est équivalent à 2Π, et donc aussi à -2Π.
Ainsi -2Π + θ est équivalent à θ
c'est-à-dire que l'angle rouge (dans le sens des aiguilles d'une montre) est équivalent à θ.
Exercices :
- Quelle est la valeur approximative de cosinus θ, quand θ est petit ?