1. Nombres premiers (1) : infinité des nombres premiers
  2. Nombres premiers (2) : petit théorème de Fermat
  3. Nombres premiers (3) : quelques autres propriétés
  4. Equations à une inconnue
  5. Les intervalles
  6. Inéquations du premier degré
  7. Valeur absolue
  8. Voisinages et approximations
  9. Les vecteurs (1) : introduction, correspondance avec les translations
  10. Les vecteurs (2) : propriétés et utilisation
  11. Repères dans le plan
  12. Droites et plans dans l'espace
  13. Problèmes du premier degré : un problème de mécanique
  14. Fonctions usuelles et fonctions inverses
  15. Application des fonctions usuelles (1) : exemple avec une parabole
  16. Application des fonctions usuelles (2) : exemple avec une ellipse
  17. Les transformations dans le plan : isométries et autres transformations
  18. Les angles : mesure en radians, sens positif et sens des aiguilles d'une montre
  19. Trigonométrie : cercle trigonométrique, fonctions circulaires
  20. Propriétés avancées des triangles
  21. Parallélisme dans le plan et dans l'espace
  22. Orthogonalité dans le plan et dans l'espace
  23. Probabilités : moyenne d'une variable aléatoire numérique
  24. Ecart type d'une variable aléatoire numérique
  25. Statistiques : histogrammes
  26. Simulation de variables aléatoires
  27. Statistiques : estimation de la moyenne et de la variance d'une v.a.

 

Cours de mathématiques de 2nde

Les intervalles

Video

Texte

-- Présentation des intervalles
-- Résultat plus avancé
-- Sur les notations kabbalistiques (à éviter) en mathématiques

 

 

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du baccalauréat à la licence:

   

Une présentation exceptionnelle par l'École russe,

sans la fausse complexité de l'approche à la Bourbaki.

 

 

Présentation des intervalles

On est dans l'ensemble R des réels, ou si l'on préfère sur la droite de représentation des nombres. On appelle un intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux nombres réels a et b, ou de manière équivalente l'ensemble des points sur la droite dont la marque est entre a et b.

Exemple : l'intervalle [ 2 ; 5 ] est l'ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x, et x ≤ 5.

Bornes incluses ou exclues. On va faire des distinguos importants selon que les bornes appartiennent à l'intervalle (comme ci-dessus) ou non :

En d'autre termes on utilise la position du crochet gauche et du crochet droit pour signifier que la borne correspondante est à l'intérieur ou à l'extérieur de l'intervalle : si le crochet gauche est tourné vers la borne, elle est incluse dans l'intervalle ; si le crochet gauche est tourné vers la gauche, la borne est en dehors de l'intervalle. Idem à droite.

Voici par exemple une représentation suggestive du segment ] -1 ; 3 ]

intervalle

Le nombre (ou point) 3 fait partie du segment (ou intervalle), mais le nombre (ou point) -1 n'en fait pas partie.

On dit que le segment ] -1, 3 ] est ouvert du côté -1 et fermé du côté 3. Les bornes où un segment est ouvert sont importantes, car elles ne sont pas dans le segment mais le segment s'en rapproche "aussi près qu'on veut". D'une certaine manière elles représentent une forme d'infini.

Par exemple, sur le segment ] -1 ; 1 [ , la fonction y = x / ( 1 - x2 ) effectue une bijection entre ce segment et l'ensemble R tout entier (voir dessin sur le site de Wolfram).

Et les bornes où le segment est ouvert ont des propriétés étonnantes et importantes en maths plus avancées (voir ci-dessous).

 

On va aussi inclure les demi-droites, définies par une seule inégalité.

Exemples :

Les notations " + ∞ [" et " ] - ∞ " sont juste des commodités pour dire, respectivement, "sans limite à droite" ou "sans limite à gauche". Les signes "plus l'infini" et "moins l'infini" ne correspondent pas à des nombres ; ce sont juste des conventions de notation. Et pour être cohérent, on tourne les crochets afin de ne pas inclure les infinis.

 

 

Intersection de deux ensembles. Si A et B sont deux ensembles de choses quelconques, on appelle "intersection de A et B" (notée A ∩ B), l'ensemble des choses qui sont à la fois dans A et dans B.

Exemple : ] - ∞ ; 7 ] ∩ [ - 4 ; 9 [ est l'ensemble des nombres à la fois plus petit ou égal à 7 , et compris entre - 4 et 9 ( - 4 étant inclus et 9 exclu). Alors c'est l'intervalle [ - 4 ; 7 ].

 

Réunion de deux ensembles. La réunion de deux ensembles A et B (notée A ∪ B), est l'ensemble des choses qui sont dans A ou dans B.

On voit qu'une réunion d'intervalles peut être ou ne pas être un intervalle.

Tandis qu'une intersection d'intervalles est toujours un intervalle.

 

Reconnaissons que tout ceci est assez élémentaire, et mérite à peine une leçon. Aussi regardons pour terminer un résultat sur les intervalles, qui ne présente aucune technicité particulière, mais qui est nettement moins évident que les considérations précédentes.

Soit deux nombres réels a et b, on appelle intervalle fermé (ou segment fermé) l'intervalle [ a ; b ], et on appelle intervalle ouvert (ou segment ouvert) l'intervalle ] a ; b [.

Deuxièmement, on dit qu'une collection C de segments recouvre un segment S si tous les points du segment S sont dans au moins un des segments de la collection.

 

 

Résultat plus avancé : si une collection infinie C de segments ouverts recouvre un segment fermé [ a ; b ], alors il y a une sous-collection C' finie, incluse dans C, qui recouvre [ a ; b ].

Preuve du résultat plus avancé.

 

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secrétaire perpétuel (1ère division) de l'Académie des sciences

   

Niveau Terminale à licence

Cet ouvrage écrit par une vingtaine des plus grands mathématiciens russes du XXe siècle est d'une pédagogie exceptionnelle. Il a déjà été traduit en anglais et en espagnol, mais c'est la première fois qu'il est traduit en français.

L'école russe se caractérise par sa clarté et sa simplicité, éloignées du formalisme excessif de l'enseignement des mathématiques en France influencé par l'école Bourbaki et que l'on retrouve jusque dans les manuels de collège. L'enseignement des mathématiques en France est adapté aux meilleurs élèves, mais détourne le plus grand nombre de la discipline. Ce livre à l'inverse, tout en étant rigoureux, structuré et complet, s'adresse à tous. Il permet d'acquérir une maîtrise concrète et applicable des outils mathématiques. Il a formé des millions d'élèves, ingénieurs et scientifiques dans le monde entier.

Le niveau progressif des trois tomes va de la fin du lycée jusqu'à la licence. Chaque notion est introduite par une description de l'environnement historique et culturel dans lequel elle est apparue (Grèce antique, Moyen Orient et monde arabe, Renaissance, XVIIe siècle européen, etc.), et des problèmes qu'elle résolvait. En montrant leur utilité, leur place dans l'histoire, et en les rendant intéressantes, l'ouvrage facilite beaucoup la compréhension des idées et l'apprentissage des méthodes mathématiques. Des exemples simples soigneusement choisis précèdent les parties théoriques, lesquelles réalisent un bon équilibre entre intuition et rigueur.

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Sur les notations kabbalistiques en mathématiques et le théorème de Pappus

Trop de livres de mathématiques (et pas seulement) semblent surtout destinés à nous en mettre plein la vue au lieu de nous expliquer simplement les choses.

 

 

Exercices :

  1. Exprimer sous forme d'un seul intervalle l'intersection ] - 11 ; 7 ] ∩ ] - 4 ; 9 [
  2. Montrer que quel que soit le nombre réel t, l'équation en x
    t = x / ( 1 - x2 )
    a, dans le segment ] -1 ; 1 [ , une solution et une seule.
  3. Combien de solutions a-t-elle sur tout l'ensemble des réels ? (distinguer les trois cas : t > 0, t = 0, et t < 0)
  4. Fabriquer une fonction qui est une bijection entre ] 0 ; 1 [ et l'ensemble R.
  5. Dessiner cette fonction avec le plotter du site https://www.wolframalpha.com

 

 

Plan général du cours

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