Si une collection infinie C de segments ouverts recouvre un segment fermé [ a ; b ], alors il y a une sous-collection C' finie, incluse dans C, qui recouvre [ a ; b ].
Démonstration :
On va regarder les segments plus petits partant de a et allant jusqu'à m, pour lesquels la propriété est vraie.
Observons d'abord que la propriété est vraie pour [ a ; a ], car il y a au moins un segment de C qui recouvre a.
Ensuite considérons tous les nombres m, entre a et b, pour lesquels la propriété est vraie. Par exemple il y a forcément des "m" un peu à droite de "a" pour lesquels c'est encore vrai, car le segment ouvert qui couvre "a" doit un peu déborder à gauche et à droite de "a".
Tous les "m" sont plus petits ou égaux à "b". Si m2 appartient à la collection des "m", et m1 est inférieur à m2, alors m1 y appartient aussi. Car la collection finie qui couvre [ a ; m2 ] est une collection finie qui couvre [ a ; m1 ].
Donc l'ensemble des m forment un segment [ a ; c ) (où la parenthèse à côté de "c" est temporairement là pour signifier qu'on ne sait pas encore si "c" est dedans ou pas).
De trois choses l'une
On va montrer que les deux premiers cas de figures sont impossibles, donc c'est le troisième qui est vrai.
Si "c" est inférieur à "b", il y a un segment ouvert ω de C qui couvre "c". Ce segment déborde un peu à gauche et à droite de "c". Donc il y a un c1 à gauche et un c2 à droite dans ce segment ω. Il y a une couverture finie de a à c1, on lui rajoute ω, et ça fait une couverture finie qui dépasse un peu "c" à droite. Contradiction.
Si "c" est égal à "b", mais pas dans les points "m" avec couverture finie. On fait le même raisonnement : il y a dans C un segment ouvert ω qui couvre "b". Alors on se positionne à b1 un peu à gauche de "b", tout en restant dans ω (d'où couverture finie jusqu'à b1) et on rajoute ω . Contradiction.
Donc l'ensemble des points avec une couverture finie C' est le segment [ a ; b ]