Cours de mathématiques de 2ndeTransformations dans le plan |
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Une transformation dans le plan est une fonction qui à chaque point associe un autre point (qui peut être lui-même). On en a déjà rencontré beaucoup :
Translations. Soit un vecteur V = (a, b), c'est-à-dire un vecteur qui transforme (0, 0) en le point (a, b), alors à tout point (x, y) la translation selon V associe (x + a, y + b).
On a vu que les translations se combinent (on dit "s'additionnent") et que l'opération est commutative. C'est une conséquence des propriétés des parallélogrammes.
Rotations.
La combinaison de deux rotations de centres différents peut donner une rotation ou une translation. (Et ce n'est pas commutatif.)
Symétries axiales.
La combinaison de 2 symétries axiales parallèles donne une translation (pas commutatif). Et si elles ne sont pas parallèles ça donne une rotation (pas commutatif non plus).
Symétries centrales. Ce n'est rien de plus qu'une rotation de 180°.
Isométries. On appelle "isométrie" dans le plan une transformation qui préserve les distances.
Si avec la transformation T : A -> A', et B -> B', alors la distance entre A' et B' est la même qu'entre A et B.
Les seules isométries du plan sont les transformations listées ci-dessus, plus la symétrie axiale suivie d'une translation parallèle à l'axe.
Elles préservent toutes les angles, en valeur absolu. On les classe en effet en deux catégories :
Intuition. Intuitivement, les isométries correspondent au déplacement d'une feuille avec un dessin dessus (translations ou rotations), ou à son retournement suivi ou non d'un déplacement.
Les isométries du plan forment un ensemble structuré : on peut combiner les isométries ; on obtient bien sûr encore une isométrie.
C'est-à-dire que toute combinaison de deux isométries est encore, soit :
Autres transformations. Il existe beaucoup d'autres transformations intéressantes dans le plan ayant une interprétation géométrique simple. Par exemple : les homothéties.
Homothéties.
Une homothétie de centre C et de rapport k est la transformation décrite dans la figure ci-dessous
Quelques propriétés des homothéties.
Il existe des transformations qui transforment les droites en courbes, et ne préservent pas les distances, mais qui préservent les angles là où les courbes se croisent. On les appellent les "transformations conformes". Par exemple :
source : wikipedia en anglais
Nous étudierons quelques autres transformations intéressantes dans les années qui viennent.
Pour aller plus loin : voici un résultat "de bon sens" mais dont la démonstration nécessite des mathématiques plus avancées que celles du lycée :
Toute transformation f continue d'un disque fermé dans lui-même a au moins un point fixe (c'est-à-dire dont le transformé est lui-même).
(fermé veut dire "qui contient le cercle qui est son bord" ; continue veut dire que "quand une suite de points du disque tend vers un point limite, alors la suite des transformés tend vers le transformé du point limite").
Exercices :