Question :

Une question fréquente quand on étudie pour la première fois dans le plan les vecteurs est : "Mais où sont-ils ?", "Est-ce que je peux voir un vecteur pour bien comprendre ce que c'est ?"

 

Réponse :

Un vecteur n'est pas quelque chose qui est "quelque part".

Il n'est pas plus "quelque part" que "le déplacement 3 pas vers la droite plus 2 pas vers le haut" est "quelque part".

Pour se figurer un vecteur il faut penser à un déplacement. Un déplacement n'est pas "quelque part" en particulier ; c'est une instruction qui, si on part d'un point donné, permet de savoir où aller et donc où on va arriver.

Par exemple si on part du point [4 ; 7,5] et qu'on se déplace du vecteur 3 pas vers la droite plus 2 pas vers le haut, alors on arrive au point [7 ; 9,5].

 

Représentation d'objets mathématiques :

Les fonctions des nombres réels vers les nombres réels, par exception, se prêtent à une représentation simple (quoique géniale) : on trace dans le plan une droite horizontale, avec un point valant zéro et une distance unité, et on fait la même chose verticalement avec le même point zéro et la même unité de longueur, et à chaque x sur cet axe on lève (ou abaisse) un segment vertical de longueur f(x), et on met une marque au point obtenu. Pour les fonctions les plus usuelles on obtient une jolie courbe qu'on appelle le graphe de la fonction.

Ça a été inventé par Nicolas Oresme au XIVe siècle. C'est aujourd'hui tellement naturel qu'on en oublie comme c'est génial de pouvoir ainsi "représenter" une relation qui à chaque nombre réel x fait correspondre un autre nombre réel y. Les Grecs par exemple n'avaient pas vu cette représentation.

Grâce à cette représentation d'une fonction avec son graphe, beaucoup de propriétés de la fonction peuvent être simplement vues sur le graphe : tangentes, pentes, surface sur la courbe entre deux points x₁ et x₂, etc.

Oresme avait même observé que si la courbe représente par exemple la vitesse d'un cavalier en fonction du temps (abscisse = temps ; et ordonnée = vitesse du cavalier), alors la surface sous la courbe entre deux points sur l'axe des abscisses est la distance parcourue par le cavalier entre ces deux points dans le temps. Tout cela trois siècles avant Newton et Leibniz !

 

Pour les vecteurs, à part penser aux translations, il n'y a pas de représentation aussi simple que le graphe pour une fonction. Néanmoins ce sont des objets mathématiques encore relativement simples.

Ils présentent même l'avantage de montrer le passage du concret vers l'abstrait.