Cours de mathématiques de 3e Les fonctions
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Nous allons maintenant étudier les fonctions.

Tout d'abord, il convient de démystifier ce terme : "fonction" est un mot du français courant dont l'une des acceptions est la même qu'en mathématiques. Si j'achète des oranges qui font chacune 200g, quel est le poids de mon filet rempli d'oranges ? Réponse : il est fonction du nombre d'oranges dans le filet.

Si on veut insister, on peut "dresser un tableau des correspondances" :

Prenons un autre exemple : ma voiture consomme 6 litres aux 100 ; je mets dans le réservoir 12 litres ; combien de kilomètres je pourrai parcourir ? 200 km bien sûr. Et si je mets, 18 litres ? 300 kilomètres. Et si je mets 15 litres ? 250 km. Etc. Bref le nombre de kilomètres que je pourrai parcourir est fonction de la quantité d'essence que j'ai mise dans le réservoir. C'est une fonction plutôt simple. Si v est la quantité d'essence dans le réservoir (mesurée en litres), et d est le nombre de kilomètres que je peux faire, alors d = (v / 6) x 100. On l'écrit aussi

d(v) = (100/6) v

Cette fonction est linéaire. Cela veut dire que quand je multiplie v par un facteur alpha, alors d(v) est aussi muliplié par le même facteur.

On voit aussi que cette fonction "fait correspondre" à chaque v, une valeur d qui dépend de v.

 

D'une manière générale, une fonction est une correspondance qui à des objets mathématiques d'un ensemble de départ en fait correspondre d'autres dans un deuxième ensemble, appelé ensemble d'arrivée ou ensemble cible, avec cependant une règle :

à tout objet du premier ensemble correspond un seul objet du second.

Deux objets du premier, en revanche, peuvent avoir le même correspondant.

On a déjà rencontré souvent des fonctions :

• les symétries axiales, dans le plan, sont des fonctions : à tout point P on fait correspondre un point P', symétrique de P par rapport à une droite donnée
• les symétries centrales dans le plan
• les translations d'un déplacement donné
• les rotations autour d'un point donné

Dans R, l'ensemble des nombres réels, voyons quelques fonctions :

• x → 3x² - x + 2
• x → 2x - 1
• x → x^3/4 (on a défini une telle fonction seulement pour les x ≥ 0 et les résultats ≥ 0)

Dans N, l'ensemble des entiers positifs ou nuls :

• n → le nombre de ses diviseurs (depuis 1 jusqu'à (n-1) )
• n → n + 3

Dans le plan, soient A, B et C des points du plan :

• à chaque triplet (A, B, C) on associe l'intersection des médianes du triangle formé par A, B et C
• à chaque paire (A, B) on associe la longueur du segment AB.

On voit que le concept général de fonction n'exige pas que l'ensemble cible soit le même que l'ensemble de départ.

Dans le plan :

• un cercle → son centre (ici l'ensemble de départ est l'ensemble de tous les cercles du plan)
• un cercle → son aire (ici l'ensemble d'arrivée, ou "cible", est l'ensemble des réels positifs)
• 2 droites → leur point d'intersection (ici l'ensemble de départ est formé de toutes les paires de droites, et l'ensemble d'arrivée est le plan ; il y aura des cas singuliers sans cible)

Dans une population :

• une personne → son âge
• une personne → ses revenus
• une personne → son niveau d'étude (mesuré d'une manière ou d'une autre)
• une personne → ses opinions politiques (ici, l'ensemble cible n'est pas un ensemble numérique)

En botanique (dans cet exemple, l'ensemble cible va être un ensemble d'ensembles) :

• à une espèce de fleur → l'ensemble de ses couleurs possibles

 

On s'intéressera pour commencer aux fonctions qui à un nombre réel font correspondre un autre nombre réel :

• x → 3x
• x → 3x - 2
• x → x² - 5x + 4

Les fonctions de R vers R sont des objets mathématiques, comme les nombres, les triangles, les symétries, les opinions politiques, etc.

On notera une fonction (c'est-à-dire en définitive une "relation") par les lettres f, g, h, etc.

 

Digression : Ça dérangeait les Grecs de penser à des relations comme à des objets mathématiques. C'étaient des Platoniciens ("Il y a une seule réalité..." même si elle ne nous est pas toujours "accessible directement..." - ce qui pour un esprit du XXIe siècle ne veut rien dire). Pour cela sans doute n'ont-ils pas découvert le calcul intégral (qu'on étudiera en 1ère), où il faut considérer une surface sous une courbe, elle-même comme une courbe dans une autre représentation.

Les Grecs voyaient aussi toutes les mathématiques comme des considérations autour de figures géométriques. Cette approche, qui avait déjà été affaiblie par la géométrie analytique de Descartes (1596 - 1650) et Fermat (première décennie du XVIIe siècle - 1665), a montré ses limites aux XVIIIe et XIXe siècles. A la fin du XIXe siècle, David Hilbert (1862 - 1943) a fini par décrire toutes les mathématiques comme des conséquences avant tout de la structure des nombres entiers, tels qu'on les connaît depuis au moins Cro-Magnon. Aujourdhui, un siècle et quelque plus tard, la question reste débattue, car parfois les nombres et leurs structures sont les plus puissants, parfois la géométrie, dans une version plus élaborée que celle des Grecs, reste la source des découvertes.

Ce qu'il faut retenir de cette digression : pour être créatif, il ne faut pas être bridé par des idées a priori, mais être prêt à tout, à la condition que ça débouche sur des choses intéressantes.

Voici un exemple de notation pour les fonctions :

• f : x → quelque chose fonction de x, noté f(x)

Exemples :

• f : x → x²
• f : x → 2x
• f : x → x + 1
• etc.

Les fonctions qui à x associent (ax + b) s'appellent les fonctions linéaires si b = 0, et les fonctions affines si b ≠ 0.

Certains auteurs, dont celui de ce cours, appellent en général toutes ces fonctions sans distinction "fonctions linéaires".

Les fonctions peuvent être combinées. Soient deux fonctions de R → R, f et g. On note g ○ f, la combinaison de g après f

g ○ f(x) = g appliquée à f(x) = g[f(x)]

Exemple : soit f(x) = ax + b et g(x) = cx + d, alors g ○ f(x) = c(ax + b) + d = acx + bc + d.

Et f ○ g(x) = a(cx + d) + b = acx + ad + b.

En général, pour la plupart des x, f ○ g(x) ≠ g ○ f(x). Donc, dans l'ensemble des fonctions de R vers R, en général f ○ g ≠ g ○ f. Par exemple, ici la combinaison de fonctions affines n'est pas commutative.

 

Exercices :

1. Vérifier que la combinaison de fonctions strictement linéaires (c'est-à-dire f : x → ax) est commutative.
2. Vérifier que les translations dans le plan sont commutatives (conseil : ça se ramène à une propriété des parallélogrammes).
   
   

 

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