Cours de mathématiques de 3e

Introduction aux probabilités : expérience aléatoire, probabilité d'un évènement

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Un point à retenir :

Quand on s'intéresse à des évènements faisant intervenir le hasard, paradoxalement on ne s'intéresse plus vraiment aux résultats eux-mêmes (par exemple le nombre tiré en lançant un dé), mais à des distributions de probabilités.

Tous les calculs que l'on va faire, et les conclusions qu'on en tirera ne concerneront que des distributions de probabilités.

On ne dira plus jamais : "en lançant ce dé, je vais tirer tel nombre." Mais pour chaque résultat possible, j'ai la probabilité "tant" d'obtenir ce résultat. (Pour un dé, la distribution de probabilités est particulièrement simple.)

On a le même phénomène en physique quantique quand on étudie par exemple le point d'arrivée sur un écran d'un photon émis par un laser et qui est d'abord passé par un trou très précis dans une plaque intermédiaire entre le laser et l'écran. Si on répète exactement l'expérience le point d'arrivée sur l'écran va varier. On ne s'intéresse plus alors à chaque photon, mais à la distribution de probabilités des points d'arrivée. Et tous nos calculs concerneront seulement des probabilités.

Dans le monde physique, il y a des expériences qui, si on les répète, donnent toujours le même résultat, et d'autres non. Par exemple :

Néanmoins, même les résultats des expériences aléatoires montrent des stabilités a priori étonnantes quand on répète l'expérience un grand nombre de fois. Si je lance un dé mille fois, je tirerai le nombre 5 à peu près une fois sur six. J'obtiendrai un nombre de fois 5 aux environs de 167, plus ou moins 50 peut-être, mais c'est quasiment impossible que j'obtienne 5 quatre cents fois, avec un dé bien équilibré.

Encore plus étonnant : cette stabilité approximative n'a rien de magique. C'est essentiellement un résultat de comptage au sein de tous les résultats possibles. Essayons de comprendre : si je lance une pièce de monnaie 100 fois, et que je m'intéresse au résultat P ou F (P pour "pile", et F pour "face"), je produirai une suite de 100 résultats élémentaires

[ x1, x2, ..., x100 ]

où chaque xi est soit P soit F.

Il y a 2100 telles suites (c'est-à-dire environ 10 milliard au cube !). Eh bien dans la plupart de ce très grand nombre de suites, les nombres de P et de F sont proches de 50 chacun. C'est un résultat de comptage, que nous étudierons dans l'avenir. Il n'y a pas de magie.

Examen du cas où on lance une pièce 5 fois.

 

Origine des probabilités modernes : Au Moyen Âge les hommes aimaient bien jouer à un jeu de hasard appelé "jeu de Balla" : deux joueurs A et B lancent une pièce de monnaie à plusieurs reprises. A gagne un point quand la pièce montre "pile" et B gagne un point quand la pièce montre "face" (peu importe qui lance la pièce). Le gagnant du jeu de Balla est le premier joueur qui comptabilise 6 points. (On voit qu'ils lanceront la pièce au maximum 11 fois.) Le gagnant emporte une cagnotte, par exemple une somme d'argent, attachée au jeu.

Dans son célèbre livre Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (publié à Venise en 1494), le moine franciscain et mathématicien Luca Pacioli, que nous avons déjà rencontré, a exposé le problème suivant, qu'on ne savait pas résoudre à son époque, concernant le jeu de Balla : supposons que deux joueurs en train de jouer au jeu de Balla, doivent arrêter la partie avant qu'elle ne soit finie, et à ce moment-là A a déjà 5 points et B a 3 points. Comment partager la cagnotte entre A et B ?

Le problème a été résolu au milieu de 17e siècle, soit un siècle et demi après avoir été posé par Pacioli, par Pascal et Fermat. Avec la configuration dans laquelle le jeu s'est arrêté, ils ont fait observer que si A et B décident de reprendre le jeu, alors A a 7 chances sur 8 de gagner, et B a 1 chance sur 8 de gagner. Donc ils ont proposé que 7/8 de la cagnotte reviennent à A et 1/8 à B (car si on répète cette situation un grand nombre de fois, B emportera environ 1/8 des cagnottes, et A 7/8).

 

Soit une expérience aléatoire pouvant produire n résultats possibles { ω1, ω2, ... ωn } équiprobables. Alors on dit, ou on définit, pour tous les "i" :

Pr { résultat = ωi } = 1/n

Cette formule se lit "probabilité que le résultat (de l'expérience ) soit oméga i est égale à 1 sur n". On a toujours somme de toutes les probabilités = 1.

On dénote par la lettre Ω l'ensemble des résultats possibles { ω1, ω2, ... ωn }.

Exemple 1 : jet d'un dé. L'ensemble Ω est { face 1, face 2, ... face 6 }.

Evènement : On appelle évènement, dans une expérience aléatoire , un sous-ensemble de Ω. Par exemple : { résultat est un nombre pair }, ou bien { résultat est 1 ou 2 }.

Exemple 2 : jet de deux dés. Ici Ω = { (1, 1), (1, 2), ... (1, 6), (2, 1), ... (6, 4), (6, 5), (6, 6) }. Il y a 36 paires dans Ω.

Par exemple Pr { résultat = (6, 6) } = 1/36

Si j'appelle X1 le premier résultat, et X2 le second, alors on va s'intéresser aux évènements { X1 + X2 = un certain nombre m }. On peut voir, en comptant, que

Pr { X1 + X2 = 2 } = 1/36
Pr { X1 + X2 = 3 } = 2/36
Pr { X1 + X2 = 4 } = 3/36
...
Pr { X1 + X2 = 7 } = 6/36
Pr { X1 + X2 = 8 } = 5/36
...
Pr { X1 + X2 = 12 } = 1/36

Simulation à l'ordinateur : les ordinateurs sont de merveilleux outils pour faire des simulations d'expériences aléatoires et développer une familiarité et une intuition avec les phénomènes aléatoires et les probabilités. Voici un site, parmi beaucoup d'autres, qui permet de "lancer 2 dés 1000 fois" : https://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/CLT.html

J'ai donc simulé le lancer de 2 dés 1000 fois, et j'ai dessiné les comptabilisations obtenues pour chaque résultat possible (de la somme des deux dés) entre 2 et 12

On voit que ces "fréquences expérimentales" ne sont pas éloignées des probabilités théoriques que nous avons calculées plus haut.

 

Exercices :

  1. Utiliser https://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/CLT.html pour faire d'autres simultations
    • Lancer un seul dé 100 fois
    • Lancer un seul dé 1000 fois
    • Lancer un seul dé 10 000 fois
    • Lancer 5 dés 1 fois, 2 fois, 1000 fois, 10 000 fois
    • etc.

 

 

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