Cours de mathématiques de 3eSolution de l'équation trinôme à l'aide de la géométrie |
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Texte
Nous avons vu que "l'équation trinôme" ax2 + bx + c = 0 avait pour solutions
à la condition que b2 - 4ac ≥ 0 (le signe devant le radical, dans la formule ci-dessus, se lit "plus ou moins" et est une façon commode de noter d'un seul coup deux formules, celle avec + et celle avec -).
On a aussi vu comment dans les cas numériques on peut trouver les solutions en traçant la parabole formée par les points de coordonnées [ x ; ax2 + bx + c ] pour toute une plage de valeurs de x. Exemple : résoudre x2 -5x + 3 = 0
On trace la parabole (pour -3 ≤ x ≤ 8) :
et on voit que les solutions (appelées aussi "racines du trinôme x2 -5x + 3") sont x1 ≈ 0,7 et x2 ≈ 4,3.
Vérifions avec l'algèbre qu'on a apprise : le discrimant Δ = b2 - 4ac = 25 - 12 = 13, donc
x1 = (5 - racine de 13)/2 = 0,697... et
x2 = (5 + racine de 13)/2 = 4,302...
On se rappelle qu'on peut aussi estimer ces racines à l'aide d'un tableur. Et nous apprendrons encore d'autres méthodes (dont une équivalente à la méthode de Héron pour les racines carrées). Bref, il y a beaucoup de solutions pour trouver les racines de x2 -5x + 3.
Solution à l'aide de la géométrie. Voyons maintenant une méthode géométrique pour trouver les solutions algébriques de ax2 + bx + c = 0. On peut supposer a > 0. On réécrit par ailleurs l'équation sous la forme suivante
pour avoir un coefficient 1 devant le terme en x au carré.
Supposons aussi que b > 0 (les autres cas, où b ≤ 0 sont similaires). Traçons un carré de côté x + b/(2a) :
On va écrire l'aire du grand carré comme somme des quatre surfaces ci-dessus, et utiliser l'équation qu'on vient d'écrire :
On voit qu'on a
Donc on arrive à
Si b2 - 4ac ≥ 0, cela donne
Ces solutions peuvent ne pas correspondre à la construction "géométrique" initiale, par exemple si une ou les deux solutions en x sont négatives.
Exercices :
- Résoudre 2x2 - 7x +1 = 0 par les différentes méthodes que nous avons apprises.