Cours de mathématiques de 3e

Système d'équations linéaires à deux inconnues

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Texte

Mémé a envoyé Pépé acheter des fruits. Il revient avec 2 kg de pommes et 3 kg de pêches. Mémé lui demande : "Pourquoi tu n'as pas acheté plutôt 2kg de pêches et plus de pommes ?"

Pépé répond : "J'avais un billet de 20 euros, il m'est resté 1 euros. C'est vrai, j'aurais pu aussi acheter 2 kg de pêches et 4 kg de pommes. Dans ce cas il ne me serait rien resté du tout." Mémé calcule alors combien il a payé les pommes et les pêches.

Problème : calculer le prix du kg de pommes et le prix du kg de pêches.

Solution : appelons x le prix du kg de pommes et y le prix du kg de pêches. Et cherchons les contraintes sur x et y qui vont nous permettrent de trouver les solutions.

On a les contraintes :

En effet Pépé nous dit que 2 kg de pommes plus 3 kg de pêches a coûté 19 euros. Ça devient la première contrainte sur x et y, c'est-à-dire la première équation.

Et Pépé nous dit aussi que 4 kg de pommes plus 2 kg de pêches aurait coûté 20 euros. Ça devient la deuxième équation.

Algèbre : résolvons ce système de deux équations à deux inconnues par l'algèbre. L'équation (1) se réécrit 2x = 19 - 3y. Et on va utiliser cette formulation de 2x dans la deuxième équation :

la deuxième équation devient une équation seulement en y : 2(19 - 3y) + 2y = 20
→ 38 - 6y + 2y = 20
→18 - 4y = 0
→ 4y = 18
→ y = 4,5 euros par kg. C'est le prix du kg de pêches.

Puis l'équation (1) nous donne le prix du kilogramme de pommes : 2x + 13,5 = 19
→ 2x = 5,5
→ x = 2,75 euros par kg. C'est le prix du kg de pommes.

Géométrie : on peut aussi résoudre un tel système linéaire par la géométrie. On va tracer les deux droites dont les équations sont :

On a rencontré jusqu'à présent les équations de droites sous la forme y = ax + b. Mais la forme a1x + a2y + a3 = 0 est tout à fait équivalente (et même un peu plus générale, car on peut avoir une droite verticale), et préserve mieux l'équilibre entre les rôles de x et de y, sans en privilégier un.

Pour chaque droite, il suffit de trouver 2 points pour la tracer. Souvent on cherche les points sur les axes de coordonnées, c'est plus simple.

Première droite : si x = 0, alors y = 6 + 1/3 ; et si y = 0 alors x = 9,5

Deuxième droite : si x = 0, alors y = 10 ; et si y = 0 alors x = 5.

Cela nous donne nos deux points par droites.

La droite rose correspond à la première équation : 2x + 3y = 19.

Et la droite bleue correspond à la deuxième équation : 4x + 2y = 20.

Le point d'intersection a les coordonnées (x ; y) forcément solution du système d'équation. Comme le dessin est relativement soigné, on peut lire la solution :

x = 2,75 et y = 4,5

 

Exercices :

  1. Fabriquer puis résoudre un exercice comparable avec d'autres données initiales.

 

 

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