Cours de mathématiques de 4e Fractions et nombres décimaux
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On se rappelle que certaines fractions ont une "représentation décimale". Ce sont celles où la série de divisions euclidiennes par les puissances de 10 y compris négatives s'arrête à un moment donné car ça finit par tomber juste.

Prenons un exemple : 406/175

Commençons par séparer la "partie entière" de la "partie fractionnaire" : dans 406 on peut mettre 2 fois 175 et il reste 56.

Donc 406/175 = 2 + 56/175.

2 s'appelle la partie entière, et 56/175 s'appelle la "partie fractionnaire", ce que certains appellent la "mantisse".

Maintenant continuons en regardant combien de fois 1/10 tient dans 56/175, et il restera quelque chose de plus petit que 1/10. C'est pareil que regarder combien de fois 1 tient dans 560/175. Réponse 3 fois et il reste 35/175. Donc

Recommençons sur le reste 35/175 (il s'agit déjà de dixièmes...) Combien de fois 175 tient dans 350 ? Réponse : 2 fois et il n'y a pas de reste. Donc

ce qu'on écrit plus simplement

Et avec la "notation décimale" on écrit : 2,32.

On aurait pu aussi commencer par "simplifier au maximum" la fraction 406/175, c'est-à-dire diviser en haut et en bas par autant de diviseurs communs que possible. On peut simplifier en haut et en bas par 7. On obtient 58/25, et c'est la simplification maximum.

Ensuite pour arriver à la représentation décimale, il suffit de multiplier en bas et en haut par des 2 ou des 5 de telle sorte qu'on arrive en bas à une puissance de 10. Ici on multiplie en haut et en bas par 4, on obtient 232/100. La réprésentation décimale est maintenant évidente, c'est 2,32.

 

 

Règle générale 1: une fraction a une représentation décimale si et seulement si, après simplification au maximum, le dénominateur est un diviseur d'une puissance de 10.

Ce n'est évidemment pas le cas de toutes les fractions.

335/13 par exemple est simplifiée au maximum (13 est un nombre premier et il ne divise pas 335), donc la série de divisions par 10, 1, 1/10, 1/100, etc. ne s'arrêtera pas. Il y aura toujours un reste inférieur à la dernière puissance de 10 (négative) qu'on a essayée.

De fait, 335/13 = 25 + 10/13.

Puis

etc.

Donc on a

Ici on a déjà divisé par 10, 1, 1/10 et 1/100 et il reste 12/13 de 1/100.

On peut continuer sur 12/13 :

Un résultat intéressant se profile : comme les restes sont toujours de la forme

il n'y a que 12 fractions possibles de la forme m/13.

Donc au bout d'un moment on va forcément être en train de faire les mêmes divisions qu'avant, et donc les décimales suivantes qu'on trouvera "feront une boucle". Ainsi par exemple :

Règle générale 2 : quand une fraction n'a pas une représentation décimale stricte (c'est-à-dire qui s'arrête à un certain moment car la dernière division tombe juste, comme pour 406/175) alors la suite des décimales fait une boucle. La boucle ne démarre pas nécessairement juste après la virgule.

Pour conclure : une fraction soit a une représentation décimale stricte, soit la série des décimales fait une boucle. On dit aussi que la série infinie des décimales est "périodique" après une certaine position. Dans l'exemple ci-dessus, la période est formée des six chiffres 142857, et elle commence à la position des millièmes.

Cela nous oriente vers les nombres qui ont un développement décimal sans boucle. On les étudiera plus tard. Pour l'instant sachons que c'est le cas de Pi. C'est équivalent à dire que Pi n'est pas une fraction. La démonstration de ce résultat demande plus de mathématiques que ce qu'on a appris jusqu'à présent.

Exercices

1. 57/11 est-il un nombre décimal ?
2. Sinon, quelle est la boucle dans la série de calculs de décimales ?

Réponses

 

 

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Réponses

1. 57/11 est-il un nombre décimal ? Réponse : non
2. Sinon, quelle est la boucle dans la série de calculs de décimales ? Réponse : 57/11 = 5,1818181818...