Cours de mathématiques de 4e

Opérations avec les fractions (1)

Video

Texte

Les fractions sont un instrument extrêmement important non seulement en mathématiques mais dans la vie de tous les jours. Les nombres entiers, positifs ou négatifs, ne sont pas suffisants pour mesurer toutes les quantités ou repérer toutes les positions autour de nous. On a besoin de mesurer des quantités correspondant à des entiers divisés par d'autres entiers même quand la division ne tombe pas juste. C'est pour ça qu'on a inventé les fractions.

Nous allons illustrer leur utilisation avec un problème géométrique. Et nous utiliserons un résultat fondamental de géométrie dans le plan que tout le monde connaît, mais que nous ne démontrerons formellement que dans quelques leçons : si deux triangles ont les mêmes angles 2 à 2, alors tous leurs côtés 2 à 2 ont des longueurs dans la même proportion.

AD/AB = AE/AC = DE/BC

Considérons donc le triangle ABC dessiné dans le répère ci-dessous.
A a les coordonnées (-3 ; -2),
B a les coordonnées (+2 ; +3),
C a les coordonnées (+6 ; 0).

Nous traçons soigneusement ce triangle sur du papier quadrillé, qui permet de mesurer des carrés de 1cm de côté. Et avec un double-décimètre nous mesurons aussi précisément qu'on peut, les longueurs de AB, AC et BC.

On trouve AB ≈ 7,1 cm (le signe ≈ signifie "approximativement"), AC ≈ 9,2 cm et BC = 5 cm. J'ai mis le signe = pour le troisième côté, car nous verrons plus tard que c'est dans ce cas-là une mesure exacte.

On peut aussi utiliser un "solver" sur Internet. Un très bon site de maths présentant toutes sortes d'outils de ce genre est https://www.analyzemath.com/ Il offre en particulier un logiciel en ligne calculant différentes mesures pour les triangles à partir des coordonnées des sommets - une calculette géométrique en quelque sorte : https://www.analyzemath.com/Geometry_calculators/solve_triangle_vertices.html.

On rentre les coordonnées des trois sommets et on obtient

Noter que les anglo-saxons utilisent un point au lieu d'une virgule pour les notations décimales. Par ailleurs ici AB n'est en réalité pas exactement égal à 7,071068. Ce n'est pas un "nombre décimal" au sens où on les a définis. A vrai dire ce n'est même pas une fraction, comme l'a découvert Pythagore au 6e siècle avant J.-C. (il nous faudra encore d'autres nombres !). Mais 7,071068 est une très bonne approximation.

Nous allons nous intéresser au triangle ADE

où D a les coordonnées (0 ; 1) et E est obtenu en traçant la parallèle au segment BC passant par D.

Commençons par calculer la longueur DE. On observe que AD/AB = 3/5. Et comme BC = 5 on en déduit que DE = (3/5) x 5 = 3 centimètres.

Maintenant la longueur de AE : on a vu que AC ≈ 9,22 = 922/100 = 461/50.

Donc AE ≈ (3/5) x (461/50) = 1383/250 = 5,532 centimètres.

 

 

Quelles sont les coordonnées de E ? Pour résoudre cette question traçons les points F et G sur le segment horizontal AG, en abaissant verticalement E et C.

On a de nouveau des triangles proportionnels (AEF et ACG) et en plus ils sont rectangles avec des côtés parallèles aux axes, donc les calculs de distances sont plus simples.

Les calculs intermédiaires sont

Ce qui nous conduit aux coordonnées de E : (12/5 ; - 4/5).

Pour finir on peut utiliser à nouveau le solveur pour vérifier la longueur de DE :

C'est parfait !

Exercice : faites des calculs comparables avec un autre triangle de votre choix.

 

Plan général du cours

Contacter le professeur