Cours de mathématiques de 4eRésoudre un problème : ligne de flottaison d'un cône lesté |
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Nous commençons à avoir une boîte à outils mathématiques intéressante et utile pour résoudre toutes sortes de problèmes :
Nous en apprendrons beaucoup d'autres dans les années qui viennent :
Regardons un problème simple d'hydrostatique.
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On a un cône renversé, lesté avec un cube d'un litre de plomb.
- Le cône est creux et de poids négligeagle.
- Le tout est mis à l'eau
- Où est la ligne de flottaison du cône ?
Il nous manque encore une donnée : quelle est la forme du cône ?
Le cône est de révolution (c'est-à-dire symétrique par rapport à son axe vertical). Et l'angle entre l'axe et une génératrice est 15°.
Il faut aussi savoir les choses suivantes :
Appelons x la hauteur en centimètre entre la ligne de flottaison et le sommet du cône sous l'eau.
Alors le rayon de la base, en fonction de la hauteur, est r(x) = x multiplié par tangente de 15° = x fois 26,8%.
Le volume immergé du cône est donc V(x) = x fois r2(x) fois π fois 1/3. Regardons l'image de la formule, car c'est un peu difficile à écrire en html :
Et, si tout est en centimètre, le volume du lest est 1000 cm3.
Le poids de l'appareil (c'est-à-dire du lest, car on considère que celui du cône creux est négligeable) est 11,4 kg.
Le volume d'eau déplacé est 1000 + (7,5% multiplié par x3).
Donc le poids d'eau déplacée est
Ecoutons notre ami George Polya :
Faisons un peu d'algèbre (un tout petit peu...)
N'oublions pas le 4e conseil de G. Polya :
Vérification : dessinons notre cône solution à l'endroit (car c'est plus habituel de les regarder comme ça) :
Le rayon r de la base satisfait l'équation r/52 = tan(15°) = 26,8%. Donc r ≈ 13,9 cm.
La surface de la base (au niveau de la ligne de flottaison) est S ≈ 607 cm2.
Volume de la partie immergée du cône ≈ 10500 cm3 = 10,5 litres.
Avec le litre de plomb en plus ça fait un volume total de 11,5 litres. Donc la poussée équilibre bien le poids.
Note sur les approximations : Nos calculs ont arrondi les nombres à plusieurs reprises, c'est donc normal de ne pas tomber exactement sur le poids de l'appareil (qui lui-même a été calculé approximativement). Mais si c'était nécessaire on pourrait faire des calculs plus précis.
Exercice
Réponses :