Cours de mathématiques de 4e Statistiques : calculer une moyenne
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Considérons une collection d'éléments sur chacun desquels nous disposons de données. Par exemple chaque élément est une famille. Et l'ensemble de la collection est formé de toutes les familles vivant dans un quartier donné d'une ville donnée.

Supposons que pour chaque famille on ait 3 mesures :

• nombre d'enfants
• revenus des parents
• sport préféré (parmi les quatres catégories : foot, rugby, tennis, autre)

Voici les données. Pour rendre l'exemple simple, il n'y a que 7 familles.

Notez que deux données sont numériques, et une ne l'est pas.

On va calculer des moyennes. On peut calculer un nombre d'enfant moyen. On peut calculer un revenu par famille moyen. Mais on ne peut pas calculer un "sport moyen". En d'autres termes, on ne peut faire des moyennes que sur des données numériques.

Nombre d'enfant moyen : c'est, par définition, le nombre total d'enfants de notre collection, divisé par le nombre de familles.

M_enfant = (2 + 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 0) / 7 = 1,86 enfant.

On voit que le nombre d'enfant moyen n'a pas besoin d'être un des nombres d'enfant possibles. (On ne peut évidemment pas avoir 1,86 enfant !) Il s'agit d'un nombre qui est dit "représentatif" de l'ensemble des familles : c'est le nombre d'enfant moyen. On dit aussi : "En moyenne, les familles de cette collection ont 1,86 enfant."

 

 

Définition des fréquences. Considérons les 5 catégories de nombre d'enfants :

• catégorie 1 : 0 enfant
• catégorie 2 : 1 enfant
• catégorie 3 : 2 enfants
• catégorie 4 : 3 enfants
• catégorie 5 : 4 enfants

Et on peut compter le nombre de familles dans chaque catégorie.

 

On peut naturellement aussi calculer la moyenne ci-dessus de la manière suivante :

M_enfant = (0 x 1 + 1 x 2 + 2 x 2 + 3 x 1 + 4 x 1) / 7 = 1,86 où dans chaque produit a x b, à l'intérieur de la somme à gauche, le premier nombre est le nombre d'enfants de la catégorie, et le deuxième est le décompte du nombre de famille dans cette catégorie. Les deux calculs sont équivalents, et donnent le même résultat.

Cela conduit néanmoins à une formule importante :

 

On fera beaucoup d'autres choses avec des données comme celles-ci, surtout quand notre collection sera un "échantillon" sélectionné au hasard dans une collection beaucoup plus grande de familles. Nous nous intéresserons, par exemple, à la relation entre revenus et nombre d'enfants, à la relation entre revenus et sport préféré, à l'estimation du nombre d'enfant moyen dans la population plus large, etc.

Nous étudierons tout cela à l'aide de la théorie élémentaire des probabilités et divers outils de statistiques dans les années qui viennent.

 

Exercice

1. Calculer le revenu moyen par famille.

Réponses

 

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