Cours de mathématiques de 4eTriangles : théorème de Thalès |
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Texte
Le théorème de Thalès est un résultat très important de la géométrie dans le plan. Il montre une proportionnalité fondamentale dans les longueurs des côtés de deux triangles dont tous les angles sont égaux deux à deux (c'est-à-dire "qui ont la même forme mais pas nécessairement la même dimension").
Voici deux triangles dont tous les angles sont égaux deux à deux :
Déplaçons le petit triangle pour l'emboîter dans le grand triangle, afin que A' coincide avec A et que les côtés soient parallèles.
Le théorème de Thalès établit que les 3 côtés du petit triangle et du grand triangle sont dans la même proportion
Nous allons regarder la démonstration donnée par le mathématicien grec Euclide (c. -325, c. -275). Cette démonstration s'appuie astucieusement sur les surfaces (= aires) de différents triangles.
On va s'intéresser aux triangles BDE (hachuré en rouge) et DEC (hachuré en violet) ci-dessous :
Etape 1 : Les surfaces de ces deux triangles, BDE et DEC, sont égales, car ils ont la même base DE et la même hauteur (= la distance entre les deux segments parallèles DE et BC).
Etape 2 : Regardons maintenant les triangles ADE et ABE. Ils ont le même sommet E, et la même hauteur h issue de E. Donc leurs surfaces sont dans la proportion AD sur AB.
Insistons : surface de ADE = AD x h x 1/2 et surface de ABE = AB x h x 1/2.
Donc on a bien
identité 1 : surface de ADE = (AD/AB) x surface de ABE
Etape 3 : La même chose est vraie avec les triangles ADE et ADC :
identité 2 : surface de ADE = (AE/AC) x surface de ADC
Maintenant observons que surface de ABE = surface de ADC, car ce sont dans les deux cas la somme de la surface de ADE et de l'un des deux triangles rouge ou violet (mais ils ont eux aussi la même surface).
Donc de l'identité 1 et l'identité 2 on déduit que
AD/AB = AE/AC
Reste à démontrer que c'est aussi le ratio des longueurs de deux segments DE et BC. L'idée ici est de déplacer de nouveau le petit triangle à l'intérieur du grand pour faire coincider maintenant D et B. Et on sera ramené au cas précédent.
Le point A' est de nouveau distinct de A, et le point E n'est plus au même endroit. La longueur BA' est la même que celle entre D et A dans la figure précédente.
Et maintenant on a BA'/AB = DE/BC
Donc finalement on a bien l'égalité des trois ratios (dans la toute première figure en haut de la page) :
A'D/AB = A'E/AC = DE/BC
Ce résultat, exprimant des proportionnalités fondamentales dans deux triangles de même forme, nous sert beaucoup dans la pratique dans la vie quotidienne. Dans nos cours de maths, on l'a déjà utilisé à plusieurs reprises dans les leçons précédentes, en particulier sous la forme du résultat de "la droite des milieux" qui est un cas particulier avec le rapport 1/2.
Thalès l'avait utilisé pour mesurer la hauteur de la pyramide de Khéops en comparant deux triangles formés par l'ombre de la pyramide et l'ombre de sa canne. (voir la leçon Opérations avec les fractions du cours de cinquième).
La réciproque du Théorème de Thalès est vraie aussi. Elle dit que dans la figure ci-dessous
si on a obtenu E en traçant la parallèle à BC passant par D, alors le point E découpe AC dans la même proportion que D découpe AB. Et cette proportion est aussi celle entre DE et BC.
Exercices
- Dessiner deux triangles de même forme mais de tailles différentes, et vérifier avec une règle graduée le théorème de Thalès.
- Si deux enfants ont les mêmes proportions, les mains du plus grand, quand il tient ses bras le long du corps, arriveront-elles plus haut ou plus bas que celles du petit enfant ?
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Réponses
- Dessiner deux triangles de même forme mais de tailles différentes, et vérifier avec une règle graduée le théorème de Thalès.
- Si deux enfants ont les mêmes proportions, les mains du plus grand, quand il tient ses bras le long du corps, arriveront-elles plus haut ou plus bas que celles du petit enfant ? Réponse : bien que le grand enfant ait les bras plus longs, ses mains arriveront plus haut.