Cours de mathématiques de 4e

Utilisation des puissances dans la pratique

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Les puissances ne sont pas une simple curiosité mais jouent un rôle important dans la vie courante, et sont aussi les briques élémentaires d'outils mathématiques très puissants.

Considérons un cube de 2 mètres de côté. Il est équivalent à l'empilement en deux couches carrées de 8 cubes de 1 mètre de côté.

Donc le volume du grand cube est a x a x a = a3 = 23 = 8 m3.

Inversement, calculons le côté d'un cube de volume 10 m3. Son côté est a tel que a3 = 10. Donc a est la racine cubique de 10. Nous l'avons calculé dans la leçon précédente : a = 2,154... mètres.

Regardons maintenant des carrés. Quelle est la longueur du côté d'un carré de surface (= aire) 2 m2 ? Pour construire un tel carré, on peut partir d'un carré de 1 mètre de côté, et construire un deuxième carré à partir de la diagonale du premier de la manière suivante :

On a pris AB = 1 mètre. Donc le carré ABCD a pour surface 1 m2. Le deuxième carré, BDEF, a la surface double du premier, car il est formé de 4 moitiés du premier. Donc la surface de BDEF est 2 m2. Par ailleurs c'est le produit de BD par lui-même. Donc BD x BD = 2, ou encore

Si j'ai un rectangle de côtés X et X + 2, alors sa surface S sera X x (X + 2) = X2 + 2X.

 

 

Si je lâche un poids du haut de la Tour de Pise (à 50 mètres du sol), la distance parcourue par le poids en fonction du temps sera D(t) = (1/2) x g x t2, où g a la valeur 9,81 (et l'unité m/s2). Ce résultat a été obtenu par Galilée (1564 - 1642) à la suite de nombreuses expériences, puis a servi de base à Newton (1642 - 1727) pour construire la théorie de la gravitation ainsi que le calcul intégral.

Donc le poids arrivera en bas au temps t tel que t2 = 2 x 50 / 9,81 = 10,19 secondes au carré. Donc

Si en plus, au départ, je lui donne une impulsion horizontale, le poids décrira une parabole, mais mettra le même temps à arriver en bas.

Les puissances jouent un rôle très important en mathématiques. Nous rencontrerons au lycée un nombre, aussi important que Pi, appelé e.

e = 2,71828...

Et nous verrons que pour n'importe quel nombre x, le nombre ex est approché par le début de la série suivante :

De plus l'approximation est vite très bonne. On note que dans le "développement" ci-dessus, la variable x est passée de la position d'exposant (à gauche) à celle de variable dont on prend des puissances entières. C'est malgré tout plus simple à manipuler.

Les développements comme ci-dessus joueront un rôle aussi important que le "calcul intégral" qu'on commencera à étudier en classe de première.

 

Exercices

  1. Quel est le côté d'un cube de volume 20 m3 ?
  2. Vérifier en mettant x = 1 dans la formule ci-dessus, que la série de puissances s'approche très vite de 2,71828...

Réponses

 

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Réponses
  1. Réponse : 2,71441762... (Vérif : 2,71441762 x 2,71441762 x 2,71441762 = 20,000000...)