Cours de mathématiques de 5e Aires de figures (= superficie de figures)
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Nous avons défini les aires à partir de celle d'un carré de 1 mètre de côté. L'aire d'un carré de 1 mètre de côté est par définition 1 m² (lire "un mètre carré").

Comme dans un carré de 1 mètre de côté il y a 100 x 100 = 10000 petits carrés de 1 cm de côté, on obtient

1 m² = 10000 cm²

Ensuite on a vu l'aire d'un rectangle quelconque. L'aire du rectangle bleu est 4 x 2,5 = 10 cm² (si les carreaux font 1 cm par 1 cm).

D'une manière générale, l'aire d'un rectangle, même s'il est incliné, est le produit de sa longueur par sa largeur. Ci-dessous l'aire du rectangle est égale à L x l

L'aire d'une surface qui est la réunion de deux ou plusieurs surfaces qui ne se chevauchent pas est la somme des aires des éléments constitutifs. Par exemple l'aire de la surface délimitée par les traits orangés est 8 + 2 = 10 cm².

On est passé ensuite à l'aire d'une figure triangulaire. Soit l la longueur de la base BC, et h la hauteur issue de A.

Alors l'aire du triangle est l x h / 2. On le constate tout de suite car c'est la moitié de celle du rectangle de côté BC et dont les autres côtés sont rosés.

On peut calculer simplement l'aire de figures quelconques dessinées avec des droites et des angles.

Ici on compte 8 (pour le rectangle à gauche) + 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2 = 11 + 1/2 = 11,5 cm². C'est important de savoir calculer les aires de ce genre de figure, mais on ne va pas s'y attarder.

 

 

On va s'intéresser à l'aire de surfaces délimitées (totalement ou en partie) non plus par des droites mais par des courbes. Etonnamment, on sera souvent capable de les calculer (note de bas de page).

Commençons tout simplement par un cercle de rayon R, et découpons-le en une grande quantité d'angles égaux.

Dans la figure ci-dessus, on a pris des angles de 18° (il y en a 20), mais on peut aussi penser à 360 angles de 1°.

Traçons les bases de chaque triangle. Elles sont très proches des arcs de cercles interceptés par chaque angle. Chaque petit triangle est de surface a x h / 2.

Dans la figure ci-dessus, il y a 20 petits triangles. Donc la surface formée par leur réunion est égale à 20 x a x h /2.

Noter que 20 x a est une longueur presque égale à la circonférence L du cercle. Et h est presque le rayon R du cercle.

Donc 20 x a x h /2 est presque L x R / 2.

On se rappelle par ailleurs que L = 2 x π x R. (C'est la définition de π.)

En découpant aussi finement qu'on veut, 20 x a x h /2, qui devient n x a x h / 2, s'approche autant qu'on veut de la surface du cercle, et aussi de 2 x π x R x R / 2.

Donc la surface du cercle ne peut pas être autre chose que 2 x π x R x R / 2. On simplifie en enlevant les 2 en haut et en bas, pour obtenir π x R x R, qu'on note πR².

C'est un résultat très important : on n'est plus limité aux figures formées avec des droites et des angles, on a établi que la surface d'un cercle de rayon R est

S = πR²

Résultats plus avancés :

1. Au sein de tous les rectangles de périmètre donné (par exemple 20 mètres), le carré est la forme dont l'aire est la plus grande (et il fait 25 m²).
2. Au sein de toutes les figures de forme quelconque dont le périmètre est donné (continuons avec l'exemple de 20 mètres), le cercle est celle dont l'aire est la plus grande (il fait 31,8... m² ; et c'est naturellement supérieur ou égal à 25 m² puisqu'on a élargi l'ensemble des figures considérées pour prendre celle d'aire la plus grande).

 

Exercices

1. Quelle est la surface du cercle inscrit dans un carré de côté 1m ?
2. Vérifier, en faisant un dessin puis des calculs, qu'un rectangle de périmètre 20 mètres, qui n'est pas un carré, a une superficie inférieure à 25 m².
3. Quelle est la surface de l'hexagone régulier de périmètre 20 mètres ? Est-ce surprenant que ce soit un nombre supérieur à 25 m² et inférieur à 31,8... m² ?

Réponses

 

 

Plan général du cours

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Réponses :

1. 3,14... m² ; c'est un peu plus petit que la surface du carré qui fait 4 m², ce qui est normal puisque le cercle est plus petit que le carré.
2. Prenons par exemple un rectangle de côtés 3 m et 7 m. Eh bien sa surface est seulement 21 m² (moins que 25 m²).

 

Note :

A vrai dire, le calcul de la surface d'une région délimitée par une courbe par un processus à la limite comme dans cette leçon est plutôt la définition de cette surface. En effet, on a jusqu'à présent défini la surface d'un rectangle ou d'un triangle, mais pas la surface d'une région délimitée par une courbe. Intuitivement, on sent bien que ce doit être la surface couverte par une collection de carrés, ou rectangles, ou autres éléments de plus en plus fins, qui remplit de mieux en mieux la région. Et de fait c'est ainsi qu'en mathématiques plus avancées on définit la surface d'une région délimitée par une courbe.