Cours de mathématiques de 5e Les angles
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Un angle dans le plan c'est une portion du plan délimitée par deux droites.

Evidemment deux droites délimitent 4 angles. Donc il faut bien préciser, dans la pratique, duquel on parle. On a la propriété a = a', b = b', et a + b = 180°.

Nous utiliserons deux autres propriétés importantes des angles dans le plan.

Première propriété : les angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante forment deux groupes d'angles égaux.

Les quatres angles avec une petite marque sont égaux. Et les quatre autres, laissés blancs, sont tous égaux et complémentaires à 180° des premiers. Pour voir que les deux angles dans les coins à droite sont égaux, penser à faire glisser une équerre avec le bon angle le long de la droite sécante. Elle va se coller d'abord contre la première droite et s'ajuster avec son angle, puis elle se collera à la deuxième droite et s'ajustera avec le deuxième angle. Ce déplacement ne change pas l'angle de l'équerre ni donc les deux angles avec la sécante.

Deuxième propriété : un angle est conservé par symétrie axiale ou par rotation autour d'un point.

Un angle a une bissectrice. C'est la demi-droite qui le coupe en deux angles égaux. Si j'appelle "a" l'angle complet, alors b + b = a.

 

Un angle ça a aussi deux trissectrices : les demi-droites qui le coupent en trois angles égaux.

 

 

Nous réviserons, dans la leçon sur les triangles, ce qu'on a déjà appris : la somme des trois angles d'un triangle dans un plan est égale à 180°.

Nous verrons que les 3 bissectrices se coupent en un même point.

Les Grecs (entre le 4e siècle avant J.-C. et le début du 3e siècle après J.-C., quand ils sont définitivement devenus des citoyens romains) avaient beaucoup étudié et savaient déjà presque tout sur la géométrie du triangle. Mais il y a une belle propriété qu'ils ne connaissaient pas. Dans un triangle quelconque, les 6 trissectrices déterminent un triangle toujours équilatéral.

Ce résultat n'a été trouvé qu'à la fin du XIXe siècle.

On peut aussi parler d'angles entre deux plans dans l'espace. Il faut se rappeler que les dessins (qui sont forcément sur une feuille de papier, ou un écran) de la géométrie dans l'espace demandent un petit effort d'imagination. L'angle entre deux plans P₁ et P₂, ayant pour intersection une droite D, est par définition l'angle découpé sur un troisième plan P₃, perpendiculaire à la droite D.

 

Pour terminer, quittons la géométrie dans l'espace et retournons dans le plan. On peut très bien parler de l'angle formé par deux courbes qui se coupent en un point M. Il faut regarder le point d'intersection avec une loupe. Alors les deux courbes "localement" sont presque des droites. L'angle entre les deux courbes au point M par définition est l'angle entre ces deux droites.

Quand on se promène à la campagne, on peut très bien arriver à un croisement où notre route, qui peut être courbe, fait un angle de 30° avec une autre route courbe aussi.

Exercices

1. Dessiner un triangle sur un ballon de foot. (Les segments entre les points doivent être le plus court possible.) Est-ce que la somme des 3 angles fait 180° ?

Réponses

 

 

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Réponses : Non, ça fait plus. Sur la Terre, par exemple, un triangle qui part du pôle Nord, descend vers l'équateur, y fait un angle de 90° vers la droite, longe l'équateur vers l'ouest sur 10 000 km, puis fait un deuxième angle pour remonter au pôle Nord, a trois angles dans la somme fait 270°.