Cours de mathématiques de 5e Propriétés de la multiplication : commutativité, associativité, distributivité
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Désormais quand nous voudrons illustrer la multiplication, nous utiliserons des rectangles et des parallélépipèdes (rectangles). Pour les nombres entiers, ce seront des petits cailloux rangés en rectangle, ou des cubes empilés pour former un parallélépipède. Pour les nombres quelconques (entiers ou fractions), ce seront des rectangles et des parallélépipèdes de côtés quelconques.

La multiplication est commutative. Compter 2 rangées de 3 petits cailloux, c'est pareil que compter 3 rangées de 2 petits cailloux. Donc 2 x 3 = 3 x 2.

Plus généralement : a x b = b x a. Car la surface d'un rectangle ayant la longueur a et la largeur b est la même que celle d'un rectangle ayant la longueur b et la largeur a.

La multiplication est associative : (a x b) x c = a x (b x c). Pour calculer le volume d'un parallélépipède rectangle on peut commencer par la surface du côté a x b, puis multiplier par c, ou bien commencer par la surface du côté b x c et multiplier par a.

Pour cette raison, quand on écrit un produit de trois nombres, on n'a pas besoin d'utiliser de parenthèses : a x b x c n'est pas ambigu.

La multiplication est distributive par rapport à l'addition : 7 x (4 + 5) = 7 x 4 + 7 x 5.
En effet 7 x 9 = 63 = 28 + 35

Plus généralement : a x (b + c) = a x b + a x c

Ces propriétés sont vraies avec n'importe quels nombres (entiers, ou fractionnaires, c'est-à-dire rationnels). On raisonne sur des rectangles ou des volumes de côtés quelconques.

 

 

Ecriture littérale simplifiée : parfois, pour ne pas alourdir les expressions, on n'écrit plus le signe x qui veut dire "multiplié par". Le simple fait d'écrire deux lettres côte à côte signifie qu'on les multiplie. Les trois propriétés s'écrivent alors de manière plus légère comme ceci :

1. Commutativité : ab = ba
2. Associativité : a(bc) = (ab)c
3. Distributivité : a(b + c) = ab + ac

 

Regardons la division. La division par une fraction quelconque p/q est la même chose que la multiplication par la fraction inverse : q/p. "Diviser" par 1/2, c'est la même chose que multiplier par 2. Donc il n'y a rien de nouveau concernant la division.

En particulier on a : (a + b) / c = a/c + b/c

Noter que les signes ÷ et / sont absolument équivalents. On peut utiliser l'un ou l'autre indifféremment.

Exemple : (6 + 4/3) ÷ (12/5) = 6 x 5 ÷ 12 + (4 x 5) ÷ (3 x 12) = 5/2 + 5/9 = 45/18 + 10/18 = (45 + 10)/18 = 55/18

 

Exercice

1. Expliquer à quelqu'un d'autre la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition en utilisant un dessin.

Réponse

 

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Réponse : voir corps de la leçon.