Cours de mathématiques de 5eSymétries axiales |
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Texte
Dans le plan, la symétrie par rapport à une droite D (appelée aussi "symétrie axiale") fait correspondre, à tout point P, le point P' tel que D soit la médiatrice du segment PP'.
Les symétries axiales font partie des transformations dans le plan. Une transformation, à chaque point, fait correspondre un autre point. Les plus simples sont les translations.
Exemple de translation : à chaque point faire correspondre celui obtenu en se déplaçant de 2 cm vers la droite et de 1,5 cm vers le haut.
Autre type de transformation : les rotations par rapport à un centre donné et d'un angle donné. Voici une rotation de centre O (de coordonnées 2 et 0), et d'angle 60° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Les symétries axiales, étonnamment, sont très liées aux translations et aux rotations. Si j'effectue deux symétries axiales par rapport d'abord à D1 puis par rapport à D2, où D1 et D2 sont parallèles, alors à partir de P, le point final P'' obtenu est le résultat d'une translation appliquée à P. Cette translation est un déplacement de longueur 2 fois l (où l est la distance entre les deux parallèles D1 et D2) dans la direction qui va de D1 à D2.
La longueur PP'' est donc toujours 2 x l. Et la direction entre P et P'' est la direction qui va de D1 à D2 en leur étant perpendiculaire.
La preuve en est laissée au lecteur.
Dans le cas où D1 et D2 se coupent en un point O, alors la combinaison de la première symétrie suivie de la seconde est équivalente à une rotation de centre O et d'angle deux fois l'angle entre D1 et D2.
Les transformations du plan (translations, symétries, rotations) sont des objets mathématiques. On peut les combiner comme on a "combiné" deux nombres entiers (avec une opération) pour obtenir un troisième nombre entier : 3 + 7 = 10.
(Noter que la combinaison de deux symétries axiales, avec des axes qui se coupent en O, n'est pas communtative : la symétrie par rapport à D1 suivie de la symétrie par rapport à D2 crée une rotation dans un sens, tandis que les deux symétries effectuées dans l'ordre inverse crée une rotation de même angle mais dans l'autre sens. Ce n'est pas la même transformation.)
Exercice
- Prendre du papier quadrillé, une règle, un compas et un rapporteur, et vérifier avec quelques points que la combinaison de deux symétries axiales non parallèles est une rotation ayant pour centre leur intersection, et pour angle le double de celui formé par les deux axes.