Cours de mathématiques de 6e

Les fractions (2) : multiplication et division

Texte

Regardons maintenant les fractions de manière plus abstraite (tout en gardant à l'esprit leur représentation sur la demi-droite).

n/m est défini comme le résultat de la division (juste ou pas juste) de n par m.

Ces nouveaux nombres ont des propriétés. Nous en connaissons déjà quelques unes :
2/3 + 3/3 = 5/3
p/m + q/m = (p + q) / m
p fois n/m = (n x p) / m, par exemple 3 fois 2/4 = 6/4

On va maintenant définir la multiplication par une fraction. On a déjà défini la multiplication des nombres entiers entre eux à l'aide de sommes, ou de rectangles de petits cailloux. Et on a déjà défini de la même manière la multiplication d'une fraction par un nombre : p fois n/m = (n/m + n/m + n/m + ... + n/m), où la somme est effectuée p fois. Noter que c'est déjà aussi la multiplication du nombre p par la fraction n/m. Notre objectif est même de définir la multiplication d'une fraction par une autre.

Mais on n'a pas a priori de représentation très simple de la multiplication d'une fraction par une fraction.

Remarquons encore avant de nous lancer dans la définition de la multiplication par une fraction, que (n/m) ÷ q = n / (m x q). Par exemple (7/4) ÷ 2 = 7/8.

Définition : on définit la multiplication d'une fraction par une autre comme ceci : (n/m) x (p/q) = (n x p) / (m x q). Par exemple, (2/3) x (9/5) = 18/15.

Et on définit la division d'une fraction par une autre comme ceci : (n/m) ÷ (p/q) = (n/m) x (q/p).

Exemples :
(5/3) x 4 = 20/3
(5/3) ÷ 2 = 5/6
(5/3) x (4/2) = 20/6 = 10/3

Exemples (suite) :
(7/8) ÷ 3 = (7/8) x (1/3) = 7/24
(7/8) x 4 = 28/8 = 7/2
(7/8) x (4/3) = ... = 7/6

Régles générales :
(n/m) x p = (n x p) / m
(n/m) x (1/q) = n / (m x q)
(n/m) x (p/q) = np/mq

Exercices : Calculer

1. (12/5) x (1/3)
2. (12/5)
÷ (1/3)
3. 36 x (1/7)

Réponses

Exercices (2) : repérer sur la demi-droite les résultats.

Plan général du cours

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1. (12/5) x (1/3) = 12/15
2. (12/5) ÷ (1/3) = 36/5
3. 36 x (1/7) = 36/7