Cours de mathématiques de 6e

Les nombres premiers

Texte

Tout nombre entier n est évidemment égal à n x 1. Donc tout nombre entier n est un multiple de 1 et un multiple de lui-même.

Les nombres premiers sont les nombres qui ne sont multiples d'aucun autre nombre que 1 et eux-mêmes. 12 n'est pas premier, car il est multiple de 3 (et de plusieurs autres nombres). 7 est premier.

Si l'on assimile les nombres à des collections de petits cailloux (comme le mot "calcul" nous le rappelle), les nombres premiers sont ceux qu'on ne peut pas ranger en rectangle de plusieurs rangées identiques.

est premier : pas moyen de ranger ces sept petits calloux en plusieurs rangées identiques.

en dépit des apparences n'est pas premier, car c'est aussi En d'autre termes 21 = 3 x 7.

Le début de la liste des nombres premiers est

(pour des raisons techniques, les mathématiciens préfèrent ne pas compter le nombre 1 dans les nombres premiers).

Les nombres premiers jouent un rôle étonnamment important en mathématiques. On verra que ce sont en quelque sorte les "briques élémentaires" de tous les nombres. Certains résultats concernant les nombres premiers sont faciles à prouver, d'autres sont difficiles, et d'autres ne sont pas encore résolus.

Par exemple : il y a une infinité de nombres premiers. C'est un résultat relativement facile à démontrer. Nous y reviendrons en classe de seconde.

Deuxième exemple : dans la suite des nombres premiers, il y a une infinité de paires de nombres séparés par 2, comme 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31, 41 et 43, 59 et 61 etc. Les mathématiciens pensent que c'est vrai mais ne savent pas encore le démontrer. Ce résultat n'est donc pour l'instant qu'une conjecture.

Les nombres premiers sont de plus en plus espacés en moyenne quand on avance vers les grands nombres.

Ils sont désarçonnants, car ce sont les nombres qui sont "un peu étranges", qui ne sont pas réguliers comme un rectangle, qui sont "spéciaux".

Par définition ils n'apparaissent pas dans la table de multiplication (à part dans la colonne 1 ou dans la ligne 1 !) :

Et pourtant ils présentent d'autres formes de régularité : par exemple leur densité moyenne entre 0 et n'importe quel nombre N est connue, même si eux-mêmes ne le sont pas bien !

Exercices

1. Est-ce que 100 est premier ?
2. Est-ce que 101 est premier ? (Suggestion : si 101 n'est pas premier, alors 101 = p x q, où p ou q est inférieur ou égal à 10, donc essayer seulement de diviser par les nombres de 2 à 10. Ce n'est pas la peine d'aller plus loin.)
3. Dans l'exercice précédent, est-ce nécessaire d'essayer de diviser par 4, par 6, par 8, par 9, par 10 ?

Réponses

Plan général du cours

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1. Est-ce que 100 est premier ? Réponse : non, c'est divisible par 2 et par 5, et par d'autres nombres.
2. Est-ce que 101 est premier ? Réponse : oui.
3. Si on a déjà essayé de diviser par 2 et que ça ne marchait pas, ce n'est pas la peine d'essayer de diviser par 4, car si 101 était divisible par 4 il le serait aussi par deux. Même raisonnement avec 6, 8, 9 et 10. Si 101 était divisible par 10, il le serait aussi par 2 et par 5.