Cours de mathématiques d'entrée au collège

Principes guidant le cours

Texte

Un thème central de ce cours de mathématiques d'entrée au collège est de ne pas confondre les notions mathématiques et leurs notations. Douze peut se noter XII, 12, 1100 ou avec douze petits cailloux. On parle toujours de la même idée.

Nous introduirons les représentations (ou usages) des notions mathématiques. C'est même comme cela qu'on commence par les présenter. Une représentation naturelle des nombres est une demi-droite avec des marques tous les centimètres correspondant aux nombres. Nous verrons qu'une même notion peut avoir plusieurs représentations, et donc être utile dans des situations différentes. C'est toute l'essence des mathématiques. La division par exemple peut correspondre à un partage de quelque chose en plusieurs parties égales selon une certaine mesure ; ça peut aussi correspondre à une pente (une hauteur dont on s'élève en marchant le long d'un chemin, divisée par la distance horizontale parcourue) ; d'une manière plus générale ça peut correspondre à une densité (masse volumique, salaire horaire, pression, etc.) ; et encore à beaucoup d'autres choses.

Dans les sections sur les nombres, nous utilisons un peu les chiffres romains. Ils montrent ce qu'est un mauvais système de notation des nombres, et ils permettent de bien comprendre la différence entre les nombres et leurs notations. Nous posons la multiplication LVII x XIII dont le résultat est DCCXLI pour illustrer le manque de commodité de la notation en chiffres romains. Ceci nous amène naturellement au système des chiffres arabes.

En ce qui concerne les notations algébriques et les priorités, nous pensons qu'un enfant de 11 ans accepte sans se poser trop de questions que dans une formule comme 2 x 3 + 4 la règle est d'effectuer la multiplication avant l'addition. Et donc 2 x 3 + 4 = 10 et non pas 14 (*). Les règles formelles sont introduites seulement en cinquième. Dans ce cours de sixième nous utilisons librement de temps à autre des parenthèses sans en faire un sujet important.

La notion de preuve en géométrie élémentaire n'a rien d'élémentaire. Elle a beaucoup occupé les plus grands mathématiciens il y a environ un siècle. Il faut éviter, dans les explications aux enfants, les raisonnements circulaires du genre : la proposition A est vraie car elle découle de B. B est vraie car elle découle de C. Et C est évidemment vraie car... elle découle de A.

Nous préférons utiliser quelques "vérités géométriques".

1. Deux droites parallèles coupées par une troisième forment deux collections de 4 angles égaux. On le justifie en faisant glisser une équerre le long de la droite sécante.
   
   
   

 

 

2. Si on a deux segments AB et DE de longueur égale, et qu'on construit deux triangles en prenant respectivement les mêmes angles, alors les triangles ABC et DEF sont "égaux" au sens de superposables. Et en particulier on a AC = DF et BC = EF.
   
   
   
3. Troisième vérité géométrique, dans un parallélogramme (défini comme une figure à quatre sommets dont les côtés opposés sont parallèles), les côtés opposés sont égaux, et les diagonales se coupent en leur milieu. (On pourrait d'ailleurs déduire cette troisième vérité géométrique des deux précédentes.)
   
   

Nous n'hésitons pas de temps en temps à montrer de belles choses d'un programme plus avancé, mais dont la beauté est compréhensible : par exemple, le dessin du théorème de Pascal sur les cercles.

Nous introduisons quelques points d'histoire, mentionnons Al Khawarizmi, Fibonacci, etc.

Le langage utilisé est aussi simple que possible. Mais nous cherchons à ne pas bêtifier non plus. Les exemples sont issus de la vie courante : un carreleur (pour des calculs avec la multiplication), une boîte de lait (pour illustrer les parallélépipèdes rectangles), etc.

De même que le Cours préparatoire pose les bases pour des années d'apprentissage de la lecture, de l'écriture et du calcul, nous posons les bases pour des années de cours de maths utiles et intéressants.

Plan général du cours

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