Cours de mathématiques de 6e

La soustraction

Texte

La soustraction est comparable à l'addition en terme d'absence de difficulté particulière. Elle ne présente qu'une différence : on ne peut pas soustraire plus que le nombre initial.

Soustraire 27 de 75, consiste à partir d'une collection de 75 objets, en enlever 27, et compter combien il en reste. On peut le calculer de tête de différentes manières, par exemple : 75 - 27 = 75 - 25 - 2 = 50 - 2 = 48.

Nous allons étudier le procédé général de la soustraction comme nous avons étudié celui de l'addition. De même que pour l'addition , le système de notation des nombres avec les chiffres arabes permet d'effectuer les soustractions de manière mécanique.

Il faut connaître sa table des soustractions élémentaires. Elle est un petit peu plus compliquée que celle des additions.

Table de soustraction

Dans la zone orangée on doit retirer un chiffre plus grand que le chiffre de départ. Pour contourner cette difficulté on procédera de la manière suivante : on ajoute 10 au chiffre auquel on va soustraire un autre chiffre, et on "retiendra" 10 à ajouter au chiffre qui est soustrait, c'est-à-dire 1 au chiffre qui est à sa gauche (pour se conformer à la représentation des nombres selon le système arabo-hindou).

Pour bien comprendre cette petite astuce, la vidéo illustre par un exemple comment on procède pour calculer par exemple 782 - 164 = 618

Le mécanisme qui consiste à ajouter 10 au 2 de 782 pour pouvoir retirer 4, puis à rajouter 10 en bas à 164, c'est-à-dire 1 au 6, pour que la soustraction reste correcte.

Une autre différence : c'est naturel d'additionner d'un seul coup plusieurs nombres, mais ça ne l'est pas de soustraire d'un seul coup plusieurs nombres d'un nombre donné : poser la soustraction n - p - q - r n'est pas naturel. On commencera plutôt par faire la somme de tous les nombres qu'on veut soustraire : m = p + q + r, et puis on soustraira leur somme m du nombre initial n. En d'autres termes, les soustractions manuelles sont seulement l'opération n - m, où m est plus petit ou égal à n.

Nous avons vu que l'addition de deux nombres n et m peut se représenter sur une demi-droite comme le déplacement, à partir de la position n, de m pas vers la droite. La marque sur laquelle on arrive est le résultat de n + m. Dans le cas de la soustraction n - m, on part de la marque n, et on se déplace de m pas vers la gauche, on arrive sur la marque correspondant à n - m.

Si on cherchait à soustraire de n un nombre m plus grand que n, on serait conduit à dépasser l'origine. Dans un cours ultérieur on verra qu'on peut prolonger la demi-droite vers la gauche après l'origine et en faire une droite complète sur laquelle on rajoutera aussi des marques. Elles correspondront à des nouveaux "nombres", qui ne font pas partie de la collection 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 etc. Ces nouveaux nombres ne serviront pas à compter des oeufs dans un panier. Mais ils auront d'autres utilités : repérer des positions géographiques sur une ligne, exprimer des dettes vis-à-vis de quelqu'un d'autre, et d'autres choses encore.

Par exemple, vous avez prêté 3 euros à un ami, et le lendemain il vous rembourse, mais comme il n'a pas de monnaie, il vous donne un billet de 5 euros. Si les 3 euros correspondaient à la position 3 sur la demi-droite vers la droite, où sommes-nous quand on doit maintenant 2 euros à l'ami ? (Vous étiez créancier de 3 euros, vous êtes maintenant débiteur de 2 euros.)

En bleu : évolution de ma "position financière" quand je prête 3. En rouge : évolution de ma "position financière" quand on me rembourse 5.

Les mathématiques, et les mathématiciens, se sentent libres d'inventer toutes sortes d'objets pour décrire des situations de la vie quotidienne. Ils ne sont pas limités à ce qui est "évident".

Exercice : Cédric veut peser son chat sur le pèse-personne de la salle de bain, mais son chat ne veut pas rester sur la balance. Alors Cédric a l'idée de se peser avec son chat dans les bras. La balance indique 31 kilogrammes. Puis il se pèse sans son chat. La balance indique 26 kilogrammes. Quel est le poids de son chat ?

Réponse

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