Cours de mathématiques de 2ndeFonctions usuelles, et fonctions inverses |
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Nous en apprendrons quelques autres dans les années qui viennent. Par exemple :
Revenons à celles que nous connaissons déjà. Dans chaque cas il est important de
Fonction "carrée". Le dessin de cette fonction est ce qu'on appelle une parabole.
L'étude de son sens de variation est :
Quand x est entre moins l'infini et zéro, la fonction décroît, et quand x est entre zéro et plus l'infini, la fonction croît. La courbe a deux branches symétriques par rapport à l'axe vertical des y. Sur R+ la courbe (c'est-à-dire la fonction) croît de plus en plus vite.
Fonction "1 sur x". Elle est définie sur tout R sauf pour x = 0. Le dessin de cette fonction est ce qu'on appelle une hyperbole.
Sens de variation :
Fonction "racine carrée". Elle est définie seulement pour x ≥ 0.
Elle est croissante, mais croît de plus en plus lentement.
Fonction "cube". Définie sur tout R.
croissante.
Fonction "valeur absolue". Définie sur tout R.
Sens de variation
Après ces petites révisions, abordons un concept important dans les fonctions : les fonctions inverses.
Fonctions inverses.
Le terme "fonction inverse" est utilisé dans deux sens différents :
Dans ce cours, le terme "fonction inverse" est réservé au deuxième sens.
Quand f-1 existe-t-elle ?
Soit une fonction f définie sur un segment [a, b], telle que tous les points de [a, b] soient projetés dans un segment [α, β] (où les bornes ne sont pas nécessairement projetées sur les bornes). Si à chaque y dans [α, β] correspond un seul x dans [a, b] tel que y = f(x), alors par définition la fonction f-1 est une fonction de [α, β] vers [a, b], et
x = f-1(y)
Exemple et contre-exemple (1) :
A gauche, la propriété permettant de définir f-1 est satisfaite : à chaque y ne correspond qu'un seul x tel que y = f(x). Mais à droite ce n'est pas le cas.
Exemple et contre-exemple (2) :
Dans l'exemple de gauche, on a pris une fonction "un peu bizarre", mais elle satisfait la condition pour que f-1 existe. Tandis que y = x2 prise sur tout R ne la satisfait pas.
y = x2 considérée seulement sur tout R+. Dans ce cas la condition pour que f-1 existe est satisfaite.
Comment obtenir la courbe de f-1. Quand f-1 existe, sa courbe est simplement la symétrique de la courbe de f par rapport à la droite bissectrice du premier quadrant du plan.
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons pris la courbe d'un arc de cercle (centré en (1 ; 0) et de rayon 1).
Exercices :