Cours de mathématiques de 3e

Principe de Cavalieri : application au calcul du volume de la sphère, puis au calcul de sa surface

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Principe de Cavalieri en 2 dimensions : Considérons 2 surfaces dans le plan, contenues entre 2 lignes droites parallèles D1 et D2.

Si toute ligne droite D, parallèle à D1 et D2, coupe les 2 surfaces en segments de même longueur, alors les 2 surfaces ont la même aire.

Dans la figure d'illustration, nous avons représenté deux triangles, mais le principe est beaucoup plus général. Les surfaces peuvent avoir des formes quelconques, si elles restent raisonnables, et n'ont même pas besoin d'être d'un seul tenant.


Principe de Cavalieri en 3 dimensions : Considérons 2 volumes dans l'espace, contenus entre 2 plans parallèles P1 et P2.

Si tout plan P, parallèle à P1 et P2, coupe les 2 volumes en surfaces de même aire, alors les 2 volumes sont de mesure égale.

Dans la figure ci-dessus, les surfaces ont gardé leur forme, mais là encore ce n'est pas nécessaire : les volumes peuvent prendre des formes quelconques.

On a appliqué ce principe pour calculer le volume d'une pyramide quelconque (voir leçon sur les pyramides), à partir de celle qui découpait un cube en 3 parties identiques.

 

Application au calcul du volume de la sphère : Le principe de Cavalieri (mathématicien italien, 1598 - 1647) permet de calculer de manière élémentaire le volume de la sphère !

Considérons une sphère de rayon "r" (à droite), et un cylindre de hauteur "r" et de base circulaire de rayon "r", et le cône renversé inscrit dans le cylindre comme sur la figure ci-dessous :

source : Wikipedia en anglais, article sur le principe de Cavalieri

Les deux surfaces roses, ci-dessous, ont la même aire :

En effet l'anneau rose de gauche a pour aire Πr2 - Πy2, et le disque rose de droite a pour rayon "x" tel que x2 + y2 = r2, donc son aire est Πx2 = Πr2 - Πy2.

En vertu du principe de Cavalieri, le volume balayé par l'anneau rose, quand "y" passe de 0 à r, est le même que le volume balayé par le disque rose, quand "y" passe de 0 à r (c'est-à-dire l'hémisphère).

Le volume balayé par l'anneau rose est [ le volume du cylindre - le volume du cône ]. Ce dernier est 1/3 du volume du cylindre. Et le cylindre a pour volume r fois Πr2.

Donc l'hémisphère a pour volume 2/3 de Πr3.

Pour conclure, le volume de la sphère de rayon r est

C'est une de ces formules importantes à connaître en mathématiques, comme la circonférence ou la surface du cercle.

 

Surface de la sphère : Du volume de la sphère, on déduit aisément sa surface. Découpons la surface de la sphère en une multitude de petites surfaces comme ci-dessous

Chaque petit élément "s" de surface, sur la surface de la sphère, détermine une petite pyramide de volume "v" = "s" x r x 1/3.

En additionnant toutes ces petites pyramides, on trouve que le volume de la sphère est égal à (r/3) fois sa surface.

D'où l'on déduit que la surface de la sphère est égal à son volume fois 3/r.

C'est-à-dire, la surface de la sphère est

C'est aussi une formule importante à retenir.

Pour aller plus loin. Pourquoi le fait que la surface de la sphère soit proportionnelle au carré de son rayon est important ? Réponse : on rencontre dans la Nature beaucoup de phénomènes comme le suivant. Une charge électrique Q placée au point origine O d'un repère dans l'espace à 3 dimensions crée en chaque point P de l'espace un champ électrique E qui ne dépend que de la distance r de P au point origine (multiplié par une constante universelle). Il se trouve (loi de Gauss) que sur n'importe quelle sphère centrée en O et de rayon r, le champ électrique E(r) sur la surface multiplié par la surface de la sphère est une constante quelle que soit la sphère. Alors E(r) est donc proportionnel à 1/r². On dit que "E suit une loi en 1/r²". Il y a beaucoup de phénomènes "en 1/r²" dans la Nature. Un autre très connu est la gravitation.

 

Exercices :

  1. Montrer que le volume de la sphère est égal aux 2/3 du volume du cylindre circonscrit. (Ce résultat, dû à Archimède, était celui dont il était le plus fier.)

 

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Que veut-on dire par "raisonnable" ?
Réponse : avec des découpages "déraisonnables" utilisant des propriétés très exotiques de figures géométriques topologiquement étranges (où les "courbes" et "surfaces" peuvent être hautement non-lisses), le principe de Cavalieri ne s'applique plus. Exemple dans l'espace à trois dimensions : paradoxe de Banach-Tarski.

Noter que le principe de Cavalieri appartient au domaine qu'on appelle le "calcul intégral". On fait du calcul intégral chaque fois qu'on établit la valeur d'une surface ou d'un volume en les découpant en un grand nombre de tranches minces ou petits morceaux. Ce sont des démonstrations parfaitement correctes et acceptables. (Démontrer ainsi que la surface d'un disque est pi x rayon au carré, en découpant le disque en un grand nombre de parts de tarte très fines...)

Le calcul intégral à proprement parler, qu'on fait démarrer avec Newton et Leibniz, contient un résultat supplémentaire qu'on apprend seulement en Terminale : le lien merveilleux entre les calculs de surfaces et les calculs de tangentes. Il n'est pas particulièrement compliqué à comprendre -- et s'appelle le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral -- mais il faut apprendre les choses une à la fois. Et pour l'instant nous en sommes au programme de 3e.