Cours de mathématiques de 4e Nombres, ordre et opérations
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Regardons, en prenant un peu de recul, tous les nombres que l'on a étudiés et utilisés jusqu'à présent :

• entiers positifs (y compris zéro)
• entiers négatifs
• rationnels positifs et négatifs
• quelques autres nombres qui ne sont pas des fractions

L'ensemble des entiers positifs (y compris zéro) s'appelle N.

C'est l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }. C'est un ensemble infini.

L'ensemble des entiers positifs ou négatifs (y compris zéro) s'appelle Z. On le nomme aussi "l'ensemble des entiers relatifs". La lettre Z vient du mot allemand Zahl, qui veut dire nombre.

L'ensemble de tous les rationnels (c'est-à-dire toutes les fractions, positives ou négatives) s'appelle Q. Cette lettre vient du mot "quotient", qui est un autre mot pour "fraction".

On a vu quelques autres nombres dont on a signalé qu'ils ne sont pas des fractions :
- le nombre pi, noté aussi π
- le nombre "racine de 2"

π = 3,141592...

racine de 2, notée aussi 2^1/2, ou encore avec un signe radical √ devant le 2 comme on voit sur une touche de nos calculettes, est égale à 1,414135... C'est Pythagore et ses élèves qui, au 6e siècle avant J.-C., ont compris que racine de 2 ne pouvait pas être une fraction. Nous verrons l'année prochaine pourquoi.

Pythagore pensait que toutes les mesures dans la Nature étaient dans des rapports simples entre elles. Ses intuitions venaient en particulier de la musique. Il s'est beaucoup intéressé au phénomène suivant qui montre l'existence de rapports simples dans la Nature : prenons une corde tendue entre deux points fixes (comme sur une guitare) ; si on écarte un peu son point médian de sa position au repos et qu'on le relâche la corde se met à vibrer avec une certaine fréquence et elle émet un son ; maintenant, avec la même tension dans la corde, on maintient le point médian fixe, en posant délicatement le doigt dessus, et on fait quand même vibrer la corde, en écartant par exemple un point au quart de sa longueur ; la corde se met à vibrer deux fois plus vite et elle émet un son "plus élevé". En musique, ce son fait une octave par rapport à la note précédente.

corde à différents régimes de vibration

Prenons par exemple une corde qui vibre à 440 hertz (c'est un la moderne), pincez-la de telle sorte que seulement la moitié maintenant vibre, vous obtenez une vibration de 880 hertz, et c'est le la de l'octave supérieure. Si vous la pincez au tiers, et laissez deux-tiers de la longueur vibrer, la fréquence sera 660 hertz. Ça s'appelle une quinte par rapport au la initiale (et c'est un mi). Pythagore a construit toute une gamme fondée sur des rapports simples de fréquences. Ça donne une musique différente de celle à laquelle on est habitué en Occident depuis au moins J.-S. Bach. Il est vraisemblable que la musique traditionnelle turque actuelle est la lointaine descendante de la musique pythagoricienne. Ce souci d'imposer des rapports simples aux mesures et à la musique est la raison pour laquelle la découverte que la diagonale d'un carré - qu'y a-t-il de plus simple ? - n'était pas une proportion n/m du côté a bouleversé Pythagore et ses camarades.

Ces autres nombres, qui ne sont pas des fractions, s'appellent les irrationnels. Il y en a beaucoup. Leur développement décimal quand on le prolonge aussi loin qu'on veut ne présente pas de répétition de paquets, ou de boucles (revoir la leçon sur les fractions et les nombres décimaux au besoin). 

L'ensemble des rationnels plus les irrationnels s'appelle R. On l'appelle aussi "l'ensemble des nombres réels". Un nombre réel (par exemple racine de 2) peut toujours être approché aussi près qu'on veut par une fraction, et même par un nombre décimal.

Les nombres réels irrationnels ne servent pas dans la vie courante, les fractions suffisent. Du reste nos calculettes ne donnent qu'une dizaine de décimales dans les calculs qui ne tombent pas juste. Mais les nombres réels sont importants pour faire des mathématiques. La longueur de la diagonale d'un carré de côté 1, doit pouvoir être utilisée, dans des calculs divers, sous sa forme exacte qui est simplement notée √2 ou parfois aussi 2^1/2.

Utilisons le symbole ⊂ qui signifie "est inclus dans". Alors on a la série d'inclusions suivantes, comme des poupées russes :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Tous les nombres correspondent à des positions sur la droite habituelle de représentation :

C'est un peu difficile d'imaginer où exactement sont les nombres réels, puisque déjà les fractions forment un ensemble dense sur la droite. Mais la logique des nombres impose qu'on distingue aussi des nombres irrationnels sur la droite.

L'ensemble de tous les nombres est dit "ordonné". Ça correspond au fait suivant : deux nombres a et b différents peuvent toujours être comparés. Soit a < b, soit b < a.

Noter que ce n'est pas le cas des points d'un plan. On ne peut pas "comparer" avec les signes < et > les points du plan.

Une autre propriété, évidente, doit être soulignée : si on a deux nombres positifs a et b, avec a < b. Alors en multipliant suffisamment a, on peut dépasser b. C'est-à-dire qu'il existe un multiplicateur n, tel que na > b, et ensuite bien sûr tous les multiples encore plus grands dépassent b aussi.

Exercices : quel est le nombre le plus grand, 43/25 ou √3 ?

 

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Réponses : √3 est plus grand que 43/25