Cours de mathématiques de 2e

Les intervalles

Texte

On est dans l'ensemble R des réels, ou si l'on préfère sur la droite de représentation des nombres. On appelle un intervalle, l'ensemble des nombres réels compris entre deux nombres réels a et b, ou de manière équivalente l'ensemble des points sur la droite dont la marque est entre a et b.

Exemple : l'intervalle [ 2 ; 5 ] est l'ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x, et x ≤ 5.

Bornes incluses ou exclues. On va faire des distinguos importants selon que les bornes appartiennent à l'intervalle (comme ci-dessus) ou non :

• [ -1 ; 3 ] = l'ensemble des réels x tels que -1 ≤ x ≤ 3
• ] -1 ; 3 ] = l'ensemble des réels x tels que -1 < x ≤ 3
• [ -1 ; 3 [ = l'ensemble des réels x tels que -1 ≤ x < 3
• ] -1 ; 3 [ = l'ensemble des réels x tels que -1 < x < 3

En d'autre termes on utilise la position du crochet de gauche et du crochet de droite pour signifier que la borne correspondante est dedans ou en dehors de l'intervalle : si le crochet à gauche est tourné vers la borne, elle est incluse dans l'intervalle ; si le crochet à gauche est tourné vers la gauche, la borne n'est pas dans l'intervalle. Idem pour la droite.

On va aussi inclure les demi-droites, définies par une seule inégalité.

Exemples :

• { x ; 4 ≤ x } (c'est-à-dire "l'ensemble des x tels que 4 soit inférieur ou égal à x") sera noté [ 4 ; + ∞ [

• { x ; x < 7} sera noté ] - ∞ ; 7 [

Les notations " + ∞ [" et " ] - ∞ " sont juste des commodités pour dire, respectivement, "sans limite à droite" ou "sans limite à gauche". Les signes "plus l'infini" et "moins l'infini" ne correspondent pas à des nombres ; ce sont juste des conventions de notation. Et pour être cohérent, on tourne les crochets afin de ne pas inclure les infinis.

Intersection de deux ensembles. Si A et B sont deux ensembles de choses quelconques, on appelle "intersection de A et B" (notée A ∩ B), l'ensemble des choses qui sont à la fois dans A et dans B.

Exemple : ] - ∞ ; 7 ] ∩ [ - 4 ; 9 [ est l'ensemble des nombres à la fois plus petit ou égal à 7 , et compris entre - 4 et 9 ( - 4 étant inclus et 9 exclu). Alors c'est l'intervalle [ - 4 ; 7 ].

Réunion de deux ensembles. La réunion de deux ensembles A et B (notée A ∪ B), est l'ensemble des choses qui sont dans A ou dans B.

On voit qu'une réunion d'intervalles peut être ou ne pas être un intervalle.

Tandis qu'une intersection d'intervalles est toujours un intervalle.

Reconnaissons que tout ceci est assez élémentaire, et mérite à peine une leçon. Aussi regardons pour terminer un résultat sur les intervalles, qui ne présente aucune technicité particulière, mais qui est nettement moins évident que les considérations précédentes.

Soit deux nombres réels a et b, on appelle intervalle fermé (ou segment fermé) l'intervalle [ a ; b ], et on appelle intervalle ouvert (ou segment ouvert) l'intervalle ] a ; b [.

Deuxièmement, on dit qu'une collection C de segments recouvre un segment S si tous les points du segment S sont dans au moins un des segments de la collection.

Résultat plus avancé : si une collection infinie C de segments ouverts recouvre un segment fermé [ a ; b ], alors il y a une sous-collection C' finie, incluse dans C, qui recouvre [ a ; b ].

Preuve du résultat plus avancé.

Exercices :

1. Exprimer sous forme d'un seul intervalle l'intersection ] - 11 ; 7 ] ∩ ] - 4 ; 9 [
   
   

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