Cours de mathématiques de 6e

Multiplication : la preuve par neuf

Texte

La "preuve par neuf" est une méthode simple pour vérifier si une multiplication est juste ou pas. Le test n'est pas parfait :

Dans certains cas, il permet de dire qu'une multiplication est certainement fausse
Dans d'autres cas, il permet de dire qu'une multiplication est probablement juste.

Regardons avec deux exemples comment on procède.

Premier exemple : On a calculé dans la leçon d'exercices précédente la multiplication de 331 par 13 et on a obtenu 4303. Voici les étapes de la preuve par neuf.

Etapes de la preuve par neuf :

On démarre avec le premier nombre (331), et on additionne ses chiffres. Si le résultat est un nombre à deux chiffres ou plus, on recommence, sinon on conserve ce premier résultat intermédiaire, pour l'utiliser dans l'étape 3 ci-dessous. Ici on obtient 3 + 3 + 1 = 7, c'est-à-dire du premier coup un nombre à un chiffre.
On fait la même chose avec le deuxième nombre (13) : on additionne ses chiffres. Si le résultat est un nombre à deux chiffres ou plus on recommence. Ici on obtient 1 + 3 = 4.
On multiplie 7 par 4. On obtient 28. On applique une fois de plus la technique d'addition des chiffres, jusqu'à obtenir un nombre à un chiffre. 2 + 8 -> 10 -> 1 + 0 = 1
On applique maintenant le procédé d'addition des chiffres au résultat de la multiplication (4303) : 4 + 3 + 0 + 3 -> 10 -> 1 + 0 -> 1.
On compare les nombres obtenus à l'étape 3 et à l'étape 4. S'ils sont différents, la multiplication est forcément fausse. S'ils sont égaux, la multiplication est probablement juste.

Le test n'est pas parfaitement décisif, pour la raison suivante. Si la multiplication est juste, les deux nombres trouvés dans les étapes 3 et 4 doivent forcément être égaux. Tandis que si elle est fausse, la plupart du temps les deux nombres seront différents, mais ils peuvent néanmoins être égaux (par exemple, si on avait trouvé 4033, la preuve par neuf ne nous indiquerait pas que la multiplication est fausse).

Deuxième exemple : on a calculé que 4752 x 347 = 1 648 944. Vérifions cette multiplication avec la preuve par neuf.

Etapes :

4752 -> 4 + 7 + 5 + 2 = 18 -> 1 + 8 = 9
347 -> 3 + 4 + 7 = 14 -> 1 + 4 -> 5
9 x 5 = 45 -> 4 + 5 -> 9
1 648 944 -> 1 + 6 + 4 + 8 + 9 + 4 + 4 = 36 -> 3 + 6 = 9
Les deux nombres 9 et 9 (de l'étape 3 et de l'étape 4) sont égaux, donc la multiplication est probablement juste.

On verra une autre année pourquoi et comment fonctionne la "preuve par neuf". C'est lié de manière simple à ce qu'on appelle l'arithmétique modulo 9, mais nous avons beaucoup de choses à apprendre avant d'étudier ce sujet.

Exercice : utiliser la preuve par neuf pour vérifier si 458 x 15 = 6770.

Réponse

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Réponse :

458 -> 17 -> 8
15 -> 6
8 x 6 = 48 -> 12 -> 3

6770 -> 20 -> 2

Donc la multiplication est forcément fausse.