Cours de mathématiques de 6e

La division euclidienne

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Texte

La "division euclidienne" est le nom officiel de la bonne vieille division des nombres entiers avec un quotient et un reste.

Combien fait 7 divisé par 3 ?

Ça fait 2 et il reste 1. Eh voilà : nous avons fait une division euclidienne !

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À vous de jouer :

Voici un nombre noté non pas avec les chiffres arabes mais "à l'ancienne" avec des petits cailloux.

Appelons ce nombre, N.

Sauriez-vous faire la division euclidienne de N par quatre ?

 

Faisons-la ensemble : la question est "combien de fois quatre petits cailloux tiennent dans le nombre N, et combien en reste-t-il à la fin après qu'on a enlevé tous les paquets de quatre ?"

Commençons par ranger les cailloux par groupes de quatre. Si on fait par exemple des colonnes avec les paquets de quatre, ça donne la configuration suivante :

rangement

Maintenant on voit qu'on peut enlever cinq paquets de quatre petits cailloux, et il en restera encore trois (dont on ne peut plus enlever un paquet de quatre évidemment).

Donc le résultat est

N = cinq fois quatre plus trois

 

Bien sûr, on peut noter tout cela avec les chiffres arabes. N, vous l'aviez reconnu, est le nombre aussi noté 23.

Et la division ci-dessus s'écrit

23 = 5 x 4 + 3

Mais il est important de comprendre que les nombres viennent avant leurs notations et même avant leurs noms. De même, vous existiez avant qu'on ait pris une photo de vous, ou qu'on ait enregistré pour vous un prénom et un nom à la mairie.

La division de N par quatre n'a rien à voir avec les diverses notations possibles des nombres qui interviennent dans le calcul. C'est pour cela que nous avons tout d'abord choisi de vous la proposer avec des petits cailloux.

Une division euclidenne ce n'est pas plus compliqué que ça !

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Faisons maintenant la division de N par trois.

Enlevons des paquets de trois cailloux les uns après les autres comme dans les jeux où il faut reconnaître des mots dans une grille remplie de lettres :

Visionnez le film pour voir les paquets de trois qu'on enlève.

On a enlevé sept paquets de trois, et il reste encore deux cailloux.

Donc on peut écrire :

N = sept fois trois plus deux

ou encore

23 = 7 x 3 + 2

 

Si on se rappellait que 3 x 7 = 21, on pouvait faire tout de suite la division euclidienne dans sa tête.

Il est très important de connaître sa table de multiplication par coeur !

table_multiplication
Table de mutiplication

Voici une page pour vous aider à réviser si nécessaire.

Quand on ne connaît pas sa table de multiplication, le monde est un endroit plus flou, plus vague, plus mystérieux. Tandis que quand on la connaît bien, par coeur, il est beaucoup plus facile à comprendre, et il est plus facile de s'y repérer.

Avec les fractions, par exemple, on est parfois amené à chercher des quantités comme 2/5 de 17,5 mètres. Si on ne connaît pas sa table de multiplication, on n'a a priori pas beaucoup d'idée de la longueur que ça peut représenter. En revanche si on la connaît bien, on voit tout de suite que cette longueur est 7 mètres.

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Faisons une division euclidienne avec des nombres plus grands.

Quelle est la division euclidienne de 2012 par 67 ?

On peut poser la division comme on l'a appris ici.

Mais - sous réserve que vous connaissiez bien votre table de multiplication - il n'est pas interdit d'utiliser sa calculette.

Quand je divise 2012 par 67, ma calculette me donne comme résultat : 30,0298507... C'est-à-dire que 67 tient trente fois dans 2012 et il y reste encore un peu (mais moins que 67).

Effectivement, 67 x 30 = 2010.

Donc la division euclidienne de 2012 par 67 est

2012 = 30 x 67 + 2

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D'une manière générale, on a deux nombres, appelons-les a et b (où b est plus petit ou égal à a). On cherche combien de fois on peut "mettre b" dans a. Et quel est le reste (forcément strictement plus petit que b) ?

Exemple : la division euclidienne de 127 par 35. Combien de fois 35 tient dans 127 ? Essayons 2 fois : 2 x 35 = 70, reste 57. On peut encore "mettre 35" une fois dans le reste de 57. Il restera alors 57 - 35 = 22. Donc 127 = 3 x 35 + 22.

On a déjà révisé, dans la leçon "poser et effectuer une division", comment faire une grosse division. Refaisons-en une (voir video pour la mécanique de calcul) : 13419 divisé par 437 égale 30 et il reste 309.

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Division euclidienne et notation avec les chiffres arabes :

Le système de notation des nombres avec les chiffres arabes est très lié à la division euclidienne par 10, 100, 1000, etc. Prenons le nombre DCCLXXIII, écrit en chiffres romains pour ne pas dès le départ l'écrire en chiffres arabes, puisque c'est précisément l'objet du paragraphe de montrer comment on fait. Combien de fois mille tient dans DCCLXXIII ? Zéro fois. Combien de fois cent tient dans DCCLXXIII ? Sept fois. Et il reste LXXIII. Combien de fois dix tient dans LXXIII ? Sept fois aussi, et il reste III. Alors on écrit le nombre DCCLXXIII sous la forme 773 : ça veut dire que DCCLXXIII = 7 x 100 + 7 x 10 + 3.

Les nombres en notation arabe sont déjà en quelque sorte le résultat d'une série de divisions euclidiennes, par 10, 100, 1000 etc. Mais on commence par le nombre 10...0 le plus grand possible. On voit combien de fois il tient dans le nombre qu'on veut représenter. C'est forcément un quotient entre 1 et 9, car sinon on aurait pu aller au nombre 10.....0 avec un zéro de plus. Puis il y a un reste. On le divise par le nombre 10...0 avec un zéro de moins. Il y a un reste. Et ainsi de suite, jusqu'à division par 10 du dernier reste précédent qui était entre 0 et 99. Et le dernier reste est entre 0 et 9.

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Exercices

  1. Faire la division euclidienne de 1357 par 100
  2. Faire la division euclidienne de 1357 par 34
  3. Faire la division euclidienne de 1357 par 10
  4. Faire la division euclidienne de 39 par 7
  5. Pourquoi dans une division euclidienne le reste est-il toujours plus petit que le diviseur ?
  6. Est-ce que le quotient peut être plus grand que le diviseur ?
  7. Est-ce que le quotient peut être plus grand que le dividende (c'est-à-dire le nombre de départ qu'on divise) ?
  8. Est-ce que le quotient peut être égal au dividende ?

Réponses

 

 

Plan général du cours

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Réponses
  1. 1357 = 13 x 100 + 57
  2. 1357 = 39 x 34 + 31
  3. 1357 = 135 x 10 + 7
  4. Combien de fois 7 tient dans 39 ? Réponse : 5 fois, et il reste encore 4. Donc 39 = 5 x 7 + 4.

    Pour une vision aussi concrète que possible du résultat ci-dessus, pensez à un sac de 39 billes. Combien de fois peut-on retirer des paquets de 7 billes ? On peut le faire 5 fois, ensuite il reste encore 4 billes. Et naturellement on ne peut plus retirer un paquet de 7 billes d'un ensemble de 4 billes.

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